Těžiště trojúhelníku je bod, kde se protínají mediány obrázku. Je také známý jako těžiště.
Mělo by se pamatovat na to, že medián je segment, který spojuje vrchol trojúhelníku se středem jeho protilehlé strany. Každý trojúhelník má tedy tři mediány.
Například v trojúhelníku výše je těžištěm bod O, přičemž mediány jsou segmenty AF, BD a CE.
Důležitou vlastností těžiště je, že jeho vzdálenost od každého vrcholu je dvojnásobkem vzdálenosti od opačné strany.
Pro lepší vysvětlení lze v každém mediánu rozlišit dvě části:
- Vzdálenost od vrcholu k těžišti, která je 2/3 délky mediánu
- Zbývající 1/3, což je vzdálenost od těžiště ke středu opačné strany.
Na obrázku výše například platí, že:
Jak najít těžiště trojúhelníku
Abychom našli těžiště trojúhelníku, musíme vzít v úvahu, že pokud známe souřadnice tří vrcholů trojúhelníku, souřadnice těžiště odpovídají jeho aritmetickému průměru. Předpokládejme tedy, že vrcholy jsou:
Pak by souřadnice těžiště, které budeme říkat O, byly:
Nyní je také možné najít těžiště, pokud máme rovnice přímek, které obsahují alespoň dva z mediánů.
Připomeňme, že v analytické geometrii lze čáru vyjádřit jako algebraickou rovnici prvního řádu jako:
y = xm + b
V zobrazené rovnici je y souřadnice na ose souřadnice (vertikální), x je souřadnice na ose vodorovné osy (horizontální), m je sklon (sklon), který tvoří přímku vzhledem k ose vodorovné osy, a b je bod, kde přímka protíná osu souřadnic.
Pro lepší pochopení výše uvedeného se podívejme na příklad.
Příklad těžiště
Předpokládejme, že máme trojúhelník, o kterém víme dva jeho vrcholy:
A (0,4) a B (-2,1)
Nyní je dále známo, že střed bočního protilehlého vrcholu A je (3,1) a střed bočního protilehlého vrcholu B je (4, 2,5). Stojí za to objasnit, že používáme středník, abychom nebyli zaměňováni s čárkou, která odděluje desetinná místa.
Nejprve najdeme rovnici přímky, která obsahuje medián, který začíná od vrcholu A, přičemž vezmeme v úvahu, že sklon při přechodu z jednoho bodu do druhého musí být vždy stejný. Sklon je změna ve svislé ose mezi změnou v vodorovné ose:
Co jsme udělali, je předpokládat, že přímka prochází bodem (x1, y1), což je vrchol A (0, 4), a bodem (x2, y2), který je středem jeho protilehlé strany (3, 1).
Poté uděláme totéž s vrcholem B (-2,1) a středem jeho protilehlé strany (-4, -2,5):
Dalším krokem je vyrovnání pravé strany dvou nalezených rovnic pro řešení hodnoty na ose X, když se obě shodují:
Poté v kterékoli z rovnic vyřešíme hodnotu y:
Těžištěm trojúhelníku je tedy bod (2,2) v kartézské rovině.