Matematické očekávání náhodné proměnné X je číslo, které vyjadřuje střední hodnotu jevu, který tato proměnná představuje.
Matematické očekávání, nazývané také očekávaná hodnota, se rovná součtu pravděpodobností, že náhodná událost existuje, vynásobené hodnotou náhodné události. Jinými slovy, jedná se o střední hodnotu souboru dat. To s přihlédnutím k tomu, že pojem matematické očekávání vytvořil teorie pravděpodobnosti.
Zatímco v matematice se průměrná hodnota události, která nastala, nazývá matematický průměr. V diskrétních distribucích se stejnou pravděpodobností v každé události je aritmetický průměr stejný jako matematické očekávání.
Příklad matematického očekávání
Podívejme se na jednoduchý příklad, abychom tomu porozuměli.
Představme si minci. Dvě hlavy, hlavy a ocasy. Jaké by bylo matematické očekávání (očekávaná hodnota), že to vyjde z hlavy?
Matematické očekávání by se počítalo jako pravděpodobnost, že při velmi velkém otočení mince se objeví hlava.
Vzhledem k tomu, že mince může přistát pouze v jedné z těchto dvou pozic a obě mají stejnou pravděpodobnost, že vyjdou, řekneme, že matematické očekávání, že vyjde hlavou, je jedna ze dvou, nebo co je stejné, 50% čas.
Budeme dělat test a hodíme mincí 10krát. Předpokládejme, že mince je dokonalá.
Točení a výsledek:
- Drahý.
- Přejít.
- Přejít.
- Drahý.
- Přejít.
- Drahý.
- Drahý.
- Drahý.
- Přejít.
- Přejít.
Kolikrát to byly hlavy (počítáme C)? 5krát Kolikrát ocasy vyšly (počítáme X)? 5 krát. Pravděpodobnost, že budou hlavami, bude 5/10 = 0,5 nebo jako procento 50%.
Jakmile k této události došlo, můžeme vypočítat matematický průměr počtu výskytů každé události. Drahá strana vyšla jednou z každých dvoukrát, tedy 50% času. Průměr odpovídá matematickému očekávání.
Výpočet matematického očekávání
Matematické očekávání se počítá pomocí pravděpodobnosti každé události. Vzorec, který formalizuje tento výpočet, je uveden takto:
Kde:
- X = hodnota události.
- P = Pravděpodobnost, že se stane.
- i = Období, ve kterém k této události dojde.
- N = Celkový počet období nebo pozorování.
Pravděpodobnost výskytu události není vždy stejná, jako u mincí. Existuje nespočet případů, kdy je pravděpodobnější, že jedna událost vyjde než jiná. Proto používáme P. Ve vzorci musíme při výpočtu matematických čísel také vynásobit hodnotu události. Níže vidíme příklad.
K čemu se používá matematické očekávání?
Matematické očekávání se používá ve všech oborech, v nichž je přítomnost pravděpodobnostních událostí vlastní. Disciplíny jako teoretická statistika, kvantová fyzika, ekonometrie, biologie nebo finanční trhy. Velké množství procesů a událostí, které se ve světě vyskytují, jsou nepřesné. Jasným a snadno pochopitelným příkladem je trh s akciemi.
Na akciovém trhu se vše počítá na základě očekávaných hodnot, proč očekávané hodnoty? Doufáme, že se to stane, ale nemůžeme to potvrdit. Všechno je založeno na pravděpodobnostech, ne na jistotách. Pokud je očekávaná hodnota nebo matematické očekávání návratnosti aktiva 10% ročně, znamená to, že na základě informací, které máme z minulosti, je nejpravděpodobnější, že návratnost bude opět 10%. Vezmeme-li samozřejmě v úvahu pouze matematické očekávání jako metodu přijímání investičních rozhodnutí.
V rámci teorií finančního trhu mnozí používají tento koncept matematického očekávání. Mezi těmito teoriemi je ta, kterou Markowitz vyvinul na účinných peněženkách.
V číslech, hodně zjednodušeně, předpokládejme, že výnosy finančního aktiva jsou následující:
Ziskovost v letech 1, 2, 3 a 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Očekávaná hodnota by byla součtem výnosů vynásobeným jejich pravděpodobností. Pravděpodobnost, že se každá ziskovost „stane“, je 0,25. Máme čtyři pozorování, čtyři roky. Každý rok mají stejnou pravděpodobnost opakování.
Naděje = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Vezmeme-li v úvahu tyto informace, řekneme, že očekávání návratnosti aktiva je 11,25%.
Délka života
