Laplaceovo pravidlo je metoda, která vám umožní rychle vypočítat determinant čtvercové matice s rozměrem 3 × 3 nebo větším pomocí rekurzivní expanzní řady.
Jinými slovy Laplaceovo pravidlo zohledňuje počáteční matici v matice nižší dimenze a upravuje její znaménko na základě polohy prvku v matici.
Tuto metodu lze provést pomocí řádků nebo sloupců.
Doporučené články: matice, typologie matic a determinant matice.
Laplaceovo pravidlo
Vzhledem k tomu, matice Zmxn libovolná dimenze mxn,kde m = n, rozšiřuje se vzhledem k i-té řadě, poté:
- Dijje determinant získaný eliminací i-tého řádku a i-tého sloupce Zmxn.
- Mijje i, j-tý méně. Determinant Dijve funkci Mijse nazývá i, j-tý kofaktormatice Zmxn.
- na je znaménko nastavení polohy.
Teoretický příklad Laplaceova pravidla
Definujeme NA3×3 Co:
- Začněme prvním prvkem a11. Nastrouháme řádky a sloupce, které tvoří11. Prvky, které zůstanou bez mřížky, budou prvním určujícím činitelem méně vynásobeno a11.
2. Pokračujeme druhým prvkem prvního řádku, tj. Do12. Opakujeme postup: nastrouháme řádky a sloupce, které obsahují12.
Upravíme znamení nezletilého:
Přidáme druhý determinant méněk předchozímu výsledku a vytvoříme takovou rozšiřující řadu, která:
3. Pokračujeme třetím prvkem první řady, tj. Na13. Opakujeme postup: nastrouháme řádek a sloupec, které obsahují13.
Přidáme třetí determinant méně k předchozímu výsledku a rozšiřujeme rozšiřující řadu tak, aby:
Protože v prvním řádku nezbývají žádné další prvky, rekurzivní proces zavřeme. Vypočítáme determinanty nezletilí.
Stejným způsobem, jako byly použity prvky z prvního řádku, lze tuto metodu použít také se sloupci.
Praktický příklad Laplaceova pravidla
Definujeme NA3×3Co:
1. Začněme prvním prvkem r11= 5. Nastrouháme řádky a sloupce, které tvoří11= 5. Prvky, které zůstanou bez mřížky, budou prvním určujícím činitelem méně vynásobeno a11=5.
2. Pokračujeme druhým prvkem první řady, tedy r12= 2. Opakujeme postup: nastrouháme řádky a sloupce, které obsahují r12=2.
Upravíme znamení nezletilého:
Přidáme druhý determinant méně k předchozímu výsledku a vytvoříme takovou řadu rozšíření, která:
3. Pokračujeme třetím prvkem první řady, tedy r13= 3. Opakujeme postup: nastrouháme řádek a sloupec, které obsahují r13=3.
Přidáme třetí determinant méně k předchozímu výsledku a rozšiřujeme rozšiřující řadu tak, aby:
Determinant maticeR3×3 je 15.