Laplaceovo pravidlo - co to je, definice a koncept

Laplaceovo pravidlo je metoda, která vám umožní rychle vypočítat determinant čtvercové matice s rozměrem 3 × 3 nebo větším pomocí rekurzivní expanzní řady.

Jinými slovy Laplaceovo pravidlo zohledňuje počáteční matici v matice nižší dimenze a upravuje její znaménko na základě polohy prvku v matici.

Tuto metodu lze provést pomocí řádků nebo sloupců.

Doporučené články: matice, typologie matic a determinant matice.

Laplaceovo pravidlo

Vzhledem k tomu, matice Z_mxn libovolná dimenze mxn,kde m = n, rozšiřuje se vzhledem k i-té řadě, poté:

• D_ijje determinant získaný eliminací i-tého řádku a i-tého sloupce Z_mxn.

• M_ijje i, j-tý méně. Determinant D_ijve funkci M_ijse nazývá i, j-tý kofaktormatice Z_mxn.
• na je znaménko nastavení polohy.

Teoretický příklad Laplaceova pravidla

Definujeme NA_3×3 Co:

1. Začněme prvním prvkem a₁₁. Nastrouháme řádky a sloupce, které tvoří₁₁. Prvky, které zůstanou bez mřížky, budou prvním určujícím činitelem méně vynásobeno a₁₁.

2. Pokračujeme druhým prvkem prvního řádku, tj. Do₁₂. Opakujeme postup: nastrouháme řádky a sloupce, které obsahují₁₂.

Upravíme znamení nezletilého:

Přidáme druhý determinant méněk předchozímu výsledku a vytvoříme takovou rozšiřující řadu, která:

3. Pokračujeme třetím prvkem první řady, tj. Na₁₃. Opakujeme postup: nastrouháme řádek a sloupec, které obsahují₁₃.

Přidáme třetí determinant méně k předchozímu výsledku a rozšiřujeme rozšiřující řadu tak, aby:

Protože v prvním řádku nezbývají žádné další prvky, rekurzivní proces zavřeme. Vypočítáme determinanty nezletilí.

Stejným způsobem, jako byly použity prvky z prvního řádku, lze tuto metodu použít také se sloupci.

Praktický příklad Laplaceova pravidla

Definujeme NA_3×3Co:

1. Začněme prvním prvkem r₁₁= 5. Nastrouháme řádky a sloupce, které tvoří₁₁= 5. Prvky, které zůstanou bez mřížky, budou prvním určujícím činitelem méně vynásobeno a₁₁=5.

2. Pokračujeme druhým prvkem první řady, tedy r₁₂= 2. Opakujeme postup: nastrouháme řádky a sloupce, které obsahují r₁₂=2.

Upravíme znamení nezletilého:

Přidáme druhý determinant méně k předchozímu výsledku a vytvoříme takovou řadu rozšíření, která:

3. Pokračujeme třetím prvkem první řady, tedy r₁₃= 3. Opakujeme postup: nastrouháme řádek a sloupec, které obsahují r₁₃=3.

Přidáme třetí determinant méně k předchozímu výsledku a rozšiřujeme rozšiřující řadu tak, aby:

Determinant maticeR_3×3 je 15.