Dvanáctistěn je mnohostěn s dvanácti tvářemi, třiceti hranami a dvaceti vrcholy. Jedná se o trojrozměrnou postavu složenou z několika polygonů, z nichž každý má jedenáct stran nebo méně.
Dvanáctistěn se vyznačuje tím, že je pevnou postavou a podle některých vědeckých výzkumů by se mohl přiblížit tomu, co by představovalo vesmír.
Dvanáctistěn je pravidelný, když je tvořen dvanácti pravidelnými pětiúhelníky (pětistěnnými polygony), jak uvidíme později.
Prvky dodecahedron
Prvky dvanáctistěn, které nás vedou od obrázku níže, jsou:
- Tváře: Jsou to strany mnohostěnu, které jsou v případě ukázkového obrázku všechny pětiúhelníky, jako je ten, který vytvořil ABCKQ a který má jinou barvu.
- Hrany: Je to segment, který představuje spojení dvou ploch jako AB nebo BC.
- Vrcholy: Jsou to ty body, kde je náskok před ostatními. Na obrázku by to byly: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S a T.
- Dihedrální úhel: Je to spojení dvou tváří.
- Úhel mnohostěnu: Je to ten, který je tvořen stranami, které se spojují do jediného vrcholu postavy.
Druhy dvanáctistěnů
Dodecahedra lze klasifikovat na základě různých kritérií. Například v závislosti na jejich tvaru mohou být:
- Konvexní: Když se spojí kterékoli dva body mnohostěnu, lze nakreslit přímku, která neopustí obrázek.
- Konkávní: Pokud lze alespoň dva body dodekaedru spojit přímkou, která v určitém bodě opouští postavu.
Stejně tak v závislosti na jejich pravidelnosti mohou být:
- Pravidelný: Všechny jejich tváře jsou si navzájem rovné, jsou to pravidelné pětiúhelníky. Tj. Jehož pět stran měří stejně a také jejich vnitřní úhly jsou stejné (viz obrázek výše).
- Nepravidelný: Jsou to všichni ti, jejichž tváře jsou odlišné, přičemž každý z nich je mnohoúhelník, který může nebo nemusí být pravidelný.
Na obrázku, kde vysvětlíme prvky dvanáctistěny, ukážeme případ pravidelného dvanáctistenu.
Plocha a objem dvanáctistěny
Obecně platí, že abychom našli oblast dvanáctistěnu, museli bychom přidat oblast všech jejích stran.
Omezíme-li se na případ pravidelného dvanáctistěnu, můžeme vypočítat plochu (A) a objem (V) pomocí následujících vzorců, kde a je strana každého pětiúhelníku, který tvoří postavu:
Příklad Dodecahedron
Pokud máme pravidelný dvanáctistěn tvořený pětiúhelníky, které mají obvod 30 metrů. Jaká je plocha a objem mnohostěnu?
Nejprve musíme najít na, vydělením obvodu počtem stran, protože jsou všechny stejné:
a = 30/5 = 6
Poté použijeme vzorce uvedené výše:
