Standardní nebo směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka nebo směrodatná odchylka je míra, která poskytuje informace o střední disperzi proměnné. Směrodatná odchylka je vždy větší nebo rovna nule.

Abychom pochopili tento koncept, musíme analyzovat 2 základní pojmy.

• Matematické očekávání, očekávaná hodnota nebo průměr: Je to průměr naší datové řady.
• Odchylka: Odchylka je oddělení, které existuje mezi jakoukoli hodnotou řady a střední hodnotou.

Po pochopení těchto dvou konceptů bude nyní standardní odchylka vypočítána podobně jako průměr. Ale brát odchylky jako hodnoty. A i když je toto uvažování intuitivní a logické, má chybu, kterou zkontrolujeme pomocí následujícího grafu.

Na předchozím obrázku máme 6 pozorování, tj. N = 6. Střední hodnota pozorování je představována černou čarou umístěnou ve středu grafu a je 3. Odchylkou pochopíme rozdíl, který existuje mezi jakýmkoli pozorování a černá čára. Máme tedy 6 odchylek.

1. Odchylka -> (2-3) = -1
2. Odchylka -> (4-3) = 1
3. Odchylka -> (2-3) = -1
4. Odchylka -> (4-3) = 1
5. Odchylka -> (2-3) = -1
6. Odchylka -> (4-3) = 1

Jak vidíme, když přidáme 6 odchylek a vydělíme N (6 pozorování), výsledek je nula. Logika by spočívala v tom, že střední odchylka bude 1. Ale matematická charakteristika střední hodnoty vzhledem k hodnotám, které ji tvoří, je přesně to, že součet odchylek je nula. Jak to opravíme? Srovnání odchylek

Vzorce pro výpočet směrodatné odchylky

První je umocněním odchylek, vydělením celkovým počtem pozorování a konečným odebráním druhé odmocniny k vrácení čtverce tak, že:

Alternativně by existoval jiný způsob výpočtu. Byl by to průměr součtu absolutních hodnot odchylek. To znamená použít následující vzorec:

Tento vzorec však není alternativou k standardní odchylce, protože poskytuje různé výsledky. Ve skutečnosti je výše uvedený vzorec odchylkou od průměru. Standardní nebo směrodatná odchylka a odchylka od průměru mají podobnosti, ale nejsou stejné. Tato poslední forma je známá jako střední odchylka.

Příklad výpočtu směrodatné odchylky

Chystáme se zkontrolovat, jak je u některé ze dvou uvedených vzorců výsledek standardní odchylky nebo střední odchylky stejný.

Podle vzorce odchylky (druhá odmocnina):

Podle vzorce absolutní hodnoty:

Stejně jako to vyžadoval intuitivní výpočet. Střední odchylka je 1. Neřekli jsme však, že vzorec pro absolutní hodnotu a směrodatnou odchylku dal jiné hodnoty? Ano, ale existuje výjimka. Jediným případem, kdy směrodatná odchylka a odchylka od průměru dávají stejný výsledek, je případ, kdy jsou všechny odchylky rovny 1.

Vztah směrodatné odchylky k rozptylu

Stručně řečeno, rozptyl není nic jiného než standardní odchylka na druhou. Nebo co přijde na stejnou věc, směrodatná odchylka je druhá odmocnina rozptylu. Souvisí takto:

Po tomto obrázku je jasné, že celý vzorec, který je v druhé odmocnině, je rozptyl. Důvod, proč musíte pochopit, že tato část je známá jako rozptyl, je to, že se používá v jiných vzorcích k výpočtu dalších měr. Ačkoli je směrodatná odchylka při interpretaci výsledků intuitivnější, je naprosto nezbytné, jak se odchylka počítá.