Modul vektoru a Pythagorova věta
Modul vektoru je délka segmentu orientovaného v prostoru, který je určen dvěma body a jejich řádem.
Jinými slovy, modul vektoru je délka mezi začátkem a koncem vektoru, tj. Kde začíná šipka a kde končí.
Vzhledem k tomu, jakýkoli dvourozměrný vektor:
Informace, kterou nám dávají souřadnice vektoru, tj. Vx a vy, je jeho délka pro osu x, respektive její délka pro osu y.
Pokud tedy známe souřadnice, můžeme vypočítat modul vektoru.
Modul vektoru a Pythagorova věta
Nepřipomíná vám předchozí kresba geometrický obrazec?
Přesně si můžeme představit, že souřadnicové osy vedle vektoru tvoří obdélník se základnou vx a výškou vy. Tento obdélník můžeme rozdělit na dva symetrické trojúhelníky, to znamená, že oba budou mít stejnou základnu a výšku.
Modře zastíněný trojúhelník má základnu vx a výšku vy. Když budeme znát tuto informaci, můžeme znát její přeponu. Existuje velmi slavná věta známá jako Pythagorova věta, která se používá pro tyto výpočty.
Demonstrace
Víme, že pythagorovský vzorec je následující:
Kde h je přepona, c je jedna noha ac je další noha.
V našem případě víme, kolik stojí naše nohy, jinými slovy základna a výška. Můžeme tedy tyto informace zapojit do rovnice:
Pokračujeme v odstraňování druhé odmocniny h aplikací druhé odmocniny:
Řekneme-li, že vx = 3 a vy = 6:
Pokud by tedy v byl vektor se souřadnicemi (3,6), pak bychom věděli, že jeho modul je 6,7082. Přesně, jeho modul, protože vzorec pro modul libovolného vektoru v je:
Vidíme, že přesně informace, které nám v rovnici chybí, se shodují s přeponou. Jinými slovy, délku vektoru chceme vypočítat a přepona je úhlopříčka trojúhelníku. Můžeme tedy dojít k závěru, že použití Pythagorovy věty k výpočtu modulu vektoru je platná metoda.
Pokud tedy potřebujeme vypočítat modul vektoru a nepamatujeme si vzorec, můžeme přemýšlet o Pythagorově větě a problém vyřešit.
Cvičení vyřešeno
Vypočítejte modul vektoru v se souřadnicemi (-3, -6) pomocí Pythagorovy věty.
Modul vektoru v se souřadnicemi (-3,6) vypočítaný ze vzorce Pythagorovy věty je také 6 7082.
