Kombinatorika s opakováním jsou různé množiny, které lze vytvořit pomocí prvků «n» vybraných z x v x, což umožňuje jejich opakování. Každá sada se musí od té předchozí lišit alespoň v jednom ze svých prvků (na pořadí nezáleží).
Kombinatorika s opakováním se běžně používá ve statistice a matematice. Vyhovuje mnoha situacím v reálném životě a jeho použití je poměrně jednoduché.
Představme si, že jsme ve vinařství, které má 7 odrůd vína. Chceme si vybrat 3 z jeho odrůd, abychom si mohli vybrat mezi červenou, růžovou, bílou, speciální červenou, speciální růžovou, speciální bílou a ovocnou. Vzhledem k tomu, že se události vzájemně nevylučují, můžeme v našem výběru opakovat kterýkoli z prvků. V tomto případě a s uvedením několika příkladů si můžeme vybrat červenou, červenou a speciální růžovou nebo růžovou, růžovou a červenou nebo bílou, bílou a růžovou.
Proto nám kombinační s opakováním říká, jak vytvořit nebo seskupit konečné množství dat / pozorování ve skupinách s určenou veličinou, které jsou schopné opakovat některé jeho prvky. To je hlavní rozdíl mezi kombinatorickým a opakováním (prvky lze opakovat v každém výběru) a kombinatorickým bez opakování (žádný prvek nelze opakovat v každém výběru)
Jak vypočítat kombinatoriku s opakováním?
Vzorec pro výpočet kombinatoriky s opakováním je následující:
n = Celkový počet pozorování
x = Počet vybraných položek
Kombinatorický příklad s opakováním
Představme si, že jsme v pekárně s výběrem 10 různých koláčů. Chceme udělat výběr ze 6 koláčů, kolik kombinací s různými opakováními bychom mohli vytvořit?
Nejprve identifikujeme celkové prvky, což je v tomto případě 10 koláčů. Proto již máme naše n (n = 10). Jelikož chceme vybrat 6 koláčů z 10 možných, naše x bude 6 (x = 6). Když to víme, musíme použít pouze vzorec.
Pro výpočet čitatele bychom museli vypočítat faktoriál 15, což by bylo 15 * 14 * 13… * 1 a ve jmenovateli bychom měli faktoriál 6 (6 * 5 * 4… * 1) vynásobený faktoriálem z 9 (9 * 8 * 7 * … 1).
Náš výsledek by byl:
1.307.674.368.000,00/720*362.880 = 5.005
Vidíme, že i když odrůdy, ze kterých si můžeme vybrat, nejsou příliš vysoké, díky možnosti opakování prvků jsou kombinace, které lze dát, obrovské.