Rozdíl mezi konkávními a konvexními
Rozdíl mezi konkávní a konvexní lze vysvětlit následovně → Termín konvexní označuje skutečnost, že povrch má vnitřní zakřivení, zatímco pokud by byl konkávní, zakřivení by bylo směrem ven.
Můžeme to tedy popsat jiným způsobem. Střední část konvexního povrchu je depresivnější nebo depresivnější. Na druhou stranu, pokud by byla konkávní, měla by tato střední část důležitost.
Abychom tomu lépe porozuměli, můžeme uvést několik příkladů. Nejprve klasický případ koule, jejíž povrch je konvexní. Pokud bychom to však rozřezali na dvě části a ponechali si dolní polovinu, měli bychom konvexní objekt s prohnutím (za předpokladu, že vnitřek koule je prázdný).
Dalším příkladem konkávy by byla hora, protože jde o výběžek s ohledem na zemský povrch. Studna je naopak konkávní, protože vstup do ní znamená potopení pod úrovní zemského povrchu.
Je také třeba poznamenat, že při definování objektu jako konkávní nebo konvexní perspektivy je také třeba vzít v úvahu. Například talíř na polévku, když je připraven sloužit, je konvexní a má prohýbání. Pokud to však otočíme, deska bude konkávní.
Pokud například analyzujeme paraboly, jsou konvexní, pokud mají tvar U, ale konkávní, pokud mají obrácený tvar U.
Konkávní a konvexní funkce
Pokud je druhá derivace funkce v bodě menší než nula, je funkce v tomto bodě konkávní. Na druhou stranu, pokud je větší než nula, je v tomto bodě konvexní. Výše uvedené lze vyjádřit takto:
Pokud f »(x) <0, f (x), je konkávní.
Pokud f »(x)> 0, f (x), je konvexní.
Například v rovnici f (x) = x2+ 5x-6, můžeme vypočítat jeho první derivaci:
f '(x) = 2x + 5
Pak najdeme druhou derivaci:
f »(x) = 2
Protože je tedy f »(x) větší než 0, je funkce konvexní pro každou hodnotu x, jak vidíme v grafu níže:
Nyní se podívejme na případ této další funkce: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Protože je tedy druhá derivace menší než 0, je funkce konkávní pro každou hodnotu x.
Nyní se ale podívejme na následující rovnici: -5 x3+ 7x2+5 x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Nastavili jsme druhou derivaci na nulu:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Když je tedy x větší než 0,4667, f »(x) je větší než nula, takže funkce je konvexní. I když je x menší než 0,4667, funkce je konkávní, jak vidíme v grafu níže:
Konvexní a konkávní mnohoúhelník
Konvexní mnohoúhelník je jeden, kde lze spojit dva jeho body a nakreslit přímku, která zůstane na obrázku. Stejně tak jsou všechny jeho vnitřní úhly menší než 180 °.
Na druhé straně je konkávní mnohoúhelník ten, kde pro spojení dvou jeho bodů musí být nakreslena přímka, která je mimo obrázek, což je vnější úhlopříčka, která spojuje dva vrcholy. Alespoň jeden z jeho vnitřních úhlů je navíc větší než 180 °.
Na obrázku níže vidíme srovnání:
