Set algebra - co to je, definice a koncept

Set algebra je oblast studia, v rámci matematiky a logiky, zaměřená na operace, které lze provádět mezi sadami.

Set algebra je součástí toho, co známe jako teorie množin.

Je třeba si uvědomit, že množina je seskupení prvků různých druhů, jako jsou například písmena, číslice, symboly, funkce, geometrické obrazce a další.

Nastavit operace

Hlavní operace se sadami jsou následující:

• svaz: Spojení dvou nebo více sad obsahuje všechny prvky, které patří alespoň k jedné z těchto sad. Je to označeno písmenem U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Průsečík: Průnik dvou nebo více sad zahrnuje prvky, které tyto sady sdílejí. Je to indikováno obráceným U (∩). Příklad:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Rozdíl: Rozdíl jedné sady vzhledem k druhé se rovná prvkům první sady minus prvky druhé. Je označen symbolem nebo -. Z jiného pohledu x ∈ a A B, pokud x ∈ A, ale x ∉ B. Příklad:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Doplněk: Doplněk sady zahrnuje všechny prvky, které nejsou obsaženy v této sadě (ale které patří do jiné univerzální referenční sady). Naznačuje to horní index C. Příklad:

A = (3,9,12,15,18)

U (Vesmír) = Všechny násobky 3, což jsou celá přirozená čísla menší než 30.

NA^C=(6,21,24,27)

• Symetrický rozdíl: Symetrický rozdíl dvou sad zahrnuje všechny prvky, které jsou v jedné nebo druhé, ale ne v obou současně. To znamená, že jde o spojení množin minus jejich průnik. Jeho symbol je Δ. Příklad:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Kartézský součin: Jedná se o operaci, jejímž výsledkem je nová sada, která obsahuje jako prvky uspořádané páry nebo n-tice (seřazené řady) prvků, které patří ke dvěma nebo více sadám. Jsou to uspořádané páry, pokud jsou to dvě sady, a n-tice, pokud máme více než dvě sady. Příklad:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Zákony množinové algebry

Zákony množinové algebry jsou následující:

• Idempotence: Spojení nebo průnik sady s sebou má za následek stejnou sadu:

XUX = X

X∩X = X

• Komutativní: Pořadí faktorů nemění výsledek při hledání sjednocení nebo průniku množin:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Distribuční: Spojení množiny X s průsečíkem dvou dalších množin Y a Z se rovná průsečíku spojení X a Y se spojením X a Z. To znamená:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Totéž platí, pokud obrátíme pořadí operací:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Asociativní: Podmínky sjednocení nebo křižovatkové operace několika množin lze seskupit nezřetelně a vždy získat stejný výsledek:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Morganův zákon: Doplněk sjednocení dvou množin se rovná průsečíku jejich doplňků a doplněk průniku dvou množin se rovná sjednocení jejich doplňků.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

• Rozdíl zákon: Rozdíl jedné sady vzhledem k druhé se rovná průsečíku první s doplňkem druhé:

(X-Y) = X∩Y^C

• Doplňkové zákony:
  • Spojení množiny s jejím doplňkem se nerovná univerzální množině. XUX^C= U
  • Průsečík množiny s jejím doplňkem se rovná nulové nebo prázdné množině. X∩X^C=∅
  • Doplněk doplňku množiny X se rovná množině X. (X^C)^C= X
  • Doplněk univerzální množiny se rovná nulové nebo prázdné množině. X^C=∅
  • Doplněk prázdné množiny se rovná univerzální množině. ∅^C= U

• Zákony absorpce:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C∩Y) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y