Taylorův polynom - co to je, definice a pojem
Taylorův polynom je polynomiální aproximace funkcen časy odvoditelné v určitém bodě.
Jinými slovy, Taylorův polynom je konečný součet lokálních derivací vyhodnocených v určitém bodě.
Matematicky
Definujeme:
f (x): funkce X.
f (x0): funkceXv určitém bodě x0. Formálně je psáno:
F(n)(X):n-tá derivace funkce f (x).
Aplikace
Taylorova expanze se obecně aplikuje na finanční aktiva a produkty, jejichž cena je vyjádřena jako nelineární funkce. Například cena krátkodobého dluhového cenného papíru je nelineární funkce, která závisí na úrokových sazbách. Dalším příkladem by byly opce, kde jak rizikové faktory, tak ziskovost jsou nelineární funkce. Výpočet doby trvání vazby je Taylorův polynom prvního stupně.
Taylorův polynomický příklad
Chceme najít druhý řád Taylorovy aproximace funkce f (x) v bodě x0=1.
1. Vytvoříme příslušné deriváty funkce f (x).
V tomto případě se nás ptají až do druhého řádu, takže uděláme první a druhý derivát funkce f (x):
- První derivace:
- Druhá derivace:
2. Dosadíme x0= 1 ve f (x), f '(x) af' '(x):
3. Jakmile máme hodnotu derivací v bodě x0= 1, dosadíme to v Taylorově aproximaci:
Trochu opravíme polynom:
Kontrola hodnot
Taylorova aproximace bude přiměřená, čím blíže k x0 být hodnotami. Abychom to zkontrolovali, dosadíme hodnoty blízké x0 jak v původní funkci, tak v Taylorově aproximaci výše:
Když x0=1
Původní funkce:
Taylorova aproximace:
Když x0=1,05
Původní funkce:
Taylorova aproximace:
Když x0=1,10
Původní funkce:
Taylorova aproximace:
V prvním případě, když x0= 1, vidíme, že jak původní funkce, tak Taylorova aproximace nám dávají stejný výsledek. To je způsobeno složením Taylorova polynomu, který jsme vytvořili pomocí lokálních derivací. Tyto deriváty byly hodnoceny v určitém bodě, x0= 1, abychom získali hodnotu a vytvořili polynom. Takže čím dále od tohoto konkrétního bodu, x0= 1, tím méně vhodná bude aproximace pro původní nelineární funkci. V případech, kdy x0= 1,05 a x0= 1,10 existuje významný rozdíl mezi výsledkem původní funkce a Taylorovou aproximací.
Ale … rozdíl je velmi malý, že?
Taylor polynomiální reprezentace
Pokud rozšíříme extrémy (kde se aproximace pohybuje od x0=1):
Na první pohled se to může zdát nepodstatné, ale když pracujeme na grafu a děláme aproximace, je velmi důležité vzít v úvahu alespoň první čtyři desetinná místa. Základem aproximací je přesnost.
