Taylorův polynom - co to je, definice a pojem

Taylorův polynom je polynomiální aproximace funkcen časy odvoditelné v určitém bodě.

Jinými slovy, Taylorův polynom je konečný součet lokálních derivací vyhodnocených v určitém bodě.

Matematicky

Definujeme:

f (x): funkce X.

f (x₀): funkceXv určitém bodě x₀. Formálně je psáno:

F⁽ⁿ⁾(X):n-tá derivace funkce f (x).

Aplikace

Taylorova expanze se obecně aplikuje na finanční aktiva a produkty, jejichž cena je vyjádřena jako nelineární funkce. Například cena krátkodobého dluhového cenného papíru je nelineární funkce, která závisí na úrokových sazbách. Dalším příkladem by byly opce, kde jak rizikové faktory, tak ziskovost jsou nelineární funkce. Výpočet doby trvání vazby je Taylorův polynom prvního stupně.

Taylorův polynomický příklad

Chceme najít druhý řád Taylorovy aproximace funkce f (x) v bodě x₀=1.

1. Vytvoříme příslušné deriváty funkce f (x).

V tomto případě se nás ptají až do druhého řádu, takže uděláme první a druhý derivát funkce f (x):

• První derivace:

• Druhá derivace:

2. Dosadíme x₀= 1 ve f (x), f '(x) af' '(x):

3. Jakmile máme hodnotu derivací v bodě x₀= 1, dosadíme to v Taylorově aproximaci:

Trochu opravíme polynom:

Kontrola hodnot

Taylorova aproximace bude přiměřená, čím blíže k x₀ být hodnotami. Abychom to zkontrolovali, dosadíme hodnoty blízké x₀ jak v původní funkci, tak v Taylorově aproximaci výše:

Když x₀=1

Původní funkce:

Taylorova aproximace:

Když x₀=1,05

Původní funkce:

Taylorova aproximace:

Když x₀=1,10

Původní funkce:

Taylorova aproximace:

V prvním případě, když x₀= 1, vidíme, že jak původní funkce, tak Taylorova aproximace nám dávají stejný výsledek. To je způsobeno složením Taylorova polynomu, který jsme vytvořili pomocí lokálních derivací. Tyto deriváty byly hodnoceny v určitém bodě, x₀= 1, abychom získali hodnotu a vytvořili polynom. Takže čím dále od tohoto konkrétního bodu, x₀= 1, tím méně vhodná bude aproximace pro původní nelineární funkci. V případech, kdy x₀= 1,05 a x₀= 1,10 existuje významný rozdíl mezi výsledkem původní funkce a Taylorovou aproximací.

Ale … rozdíl je velmi malý, že?

Taylor polynomiální reprezentace

Pokud rozšíříme extrémy (kde se aproximace pohybuje od x₀=1):

Na první pohled se to může zdát nepodstatné, ale když pracujeme na grafu a děláme aproximace, je velmi důležité vzít v úvahu alespoň první čtyři desetinná místa. Základem aproximací je přesnost.