Rovnovážné modely úrokových sazeb jsou rovnovážné modely založené na Brownově geometrickém procesu a na rizikové neutralitě krátkodobých úrokových sazeb.
Jinými slovy, modely rovnovážné úrokové sazby používají krátkodobé úrokové sazby k výpočtu budoucích úrokových sazeb s přihlédnutím k časové struktuře úrokových sazeb.
Jako reference pro krátkodobé úrokové sazby použijeme úrokové sazby dluhopisy s nulovým kuponem. Příkladem mohou být krátkodobé španělské státní pokladniční poukázky.
Doporučené položky: obligace s nulovým kupónem, opce a průměrná reverze.
Časová struktura cen dluhopisů s nulovým kuponem je získána z Brownova geometrického procesu, který zachycuje nekonečně malé změny krátkodobých úrokových sazeb.
Ceny dluhopisů s nulovým kupónem se používají k ocenění ceny opcí na obligace s nulovým kuponem a opcí na kupony s obligacemi.
Pro výpočet budoucích cen dluhopisů s nulovým kupónem tedy potřebujeme krátkodobé úrokové sazby s nulovým kupónem. Tímto způsobem můžeme také vytvořit křivku nebo časovou strukturu úrokových sazeb s nulovým kupónem. Jakmile máme křivku, můžeme určit vývoj dlouhodobých úrokových sazeb daných krátkodobými úrokovými sazbami.
Termínová struktura nebo úroková křivka dluhopisů s nulovým kupónem vypočtená z modelu Vasicek:
Předpoklady rovnovážného modelu o úrokových sazbách
Předpoklady modelu jsou:
- Riziková neutralita.
Předpokládáme neutrální riziko jako klasický předpoklad pro oceňování aktiv na finančních trzích. Tento předpoklad je klíčem k získání ceny dluhopisu pomocí simulace Monte Carlo.
- Log-normální rozdělení dluhopisů a úrokové sazby.
Předpokládáme log-normální rozdělení, protože úrokové sazby považujeme za kladnou proměnnou, jako jsou ceny dluhopisů. Nemělo by smysl hodnotit dluhopisy se zápornou cenou. Za předpokladu log-normálního rozdělení úrokových sazeb můžeme říci, že úrokové sazby budou následovat Brownův geometrický proces. Pokud by rozdělení úrokových sazeb bylo normální rozdělení, pak bychom řekli, že úrokové sazby se řídí Brownovým aritmetickým procesem.
Jednofaktorové rovnovážné modely
Jednofaktorové rovnovážné modely jsou modely pro výpočet časové struktury úrokových sazeb z krátkodobých úrokových sazeb.
Říkáme o jediném faktoru, protože riziko nebo nejistota je dána jediným faktorem: volatilita úrokových sazeb. Existují modely dvoufaktorové rovnováhy, které poskytují více možností v pohybu úrokových sazeb.
Matematicky definujeme jednofaktorový rovnovážný model formy:
Kde,
- r (t): krátkodobé úrokové sazby v okamžiku t.
- dr: změna úrokových sazeb (r) v průběhu času (dt).
- dt: plynutí času = vývoj času.
- m (r) dt: směr nebo trend (m) zaujatý úrokovými sazbami (r) v čase (dt).
- s (r): směrodatná odchylka úrokových sazeb (r).
- dZ: náhodná složka nebo porucha, která následuje po normálním rozdělení s průměrem 0 a rozptylem 1.
Výše uvedený výraz je znám jako a stochastická diferenciální rovnice vyjádřeno prostřednictvím procesu Itô.
Typy modelů
Nejběžnější modely jednofaktorové rovnováhy jsou:
- Model Rendleman a Bartter.
- Vasíčkův model.
- Cox, Ingresoll a Ross model.
