Binomická distribuce - co to je, definice a koncept

Binomické rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, které popisuje počet úspěchů při provádění n nezávislých experimentů na náhodné proměnné..

Existuje velké množství experimentů nebo událostí, které lze charakterizovat v rámci tohoto rozdělení pravděpodobnosti. Představte si losování, ve kterém definujeme událost „bít do hlavy“ jako úspěch. Pokud hodíme minci 5krát a spočítáme zásahy (hlavy), které dostaneme, naše rozdělení pravděpodobnosti by odpovídalo binomickému rozdělení.

Proto je binomické rozdělení chápáno jako řada testů nebo zkoušek, ve kterých můžeme mít pouze 2 výsledky (úspěch nebo neúspěch), přičemž úspěch je naší náhodnou proměnnou.

Vlastnosti binomické distribuce

Aby se náhodná proměnná mohla řídit binomickou distribucí, musí splňovat následující vlastnosti:

• V každém pokusu, experimentu nebo testu jsou možné pouze dva výsledky (úspěch nebo neúspěch).
• Pravděpodobnost úspěchu musí být konstantní. To představuje písmeno p. Pravděpodobnost převrácení hlav mincí je 0,5 a je konstantní, protože mince se v každém experimentu nemění a pravděpodobnosti hlav jsou konstantní.
• Pravděpodobnost selhání musí být také konstantní. To je reprezentováno písmenem q = 1-p. Je důležité si uvědomit, že pomocí této rovnice, znalosti p nebo znalosti q, můžeme získat tu, která nám chybí.
• Výsledek získaný v každém experimentu je nezávislý na předchozím. To, co se stane v každém experimentu, tedy neovlivní následující.
• Události se vzájemně vylučují, to znamená, že se nemohou vyskytnout současně. Není možné být současně mužem i ženou, nebo že při hodu mincí vyjde hlava i ocas současně.
• Události jsou kolektivně vyčerpávající, to znamená, že musí dojít alespoň k jedné ze dvou. Pokud nejste muž, jste žena a pokud hodíte minci, pokud nepřichází do hlavy, musí to být ocasy.
• Náhodná proměnná, která následuje po binomickém rozdělení, je obvykle reprezentována jako X ~ (n, p), kde n představuje počet pokusů nebo experimentů ap pravděpodobnost úspěchu.

Vzorec binomického rozdělení

Vzorec pro výpočet normálního rozdělení je:

Kde:

n = počet pokusů / experimentů

x = počet úspěchů

p = Pravděpodobnost úspěchu

q = Pravděpodobnost poruchy (1-p)

Je důležité si uvědomit, že výraz v hranatých závorkách není maticový výraz, ale je výsledkem kombinatorického bez opakování. Toho lze dosáhnout pomocí následujícího vzorce:

Vykřičník v předchozím výrazu představuje faktoriální symbol.

Příklad binomické distribuce

Představme si, že 80% lidí na světě vidělo finální zápas posledního mistrovství světa ve fotbale. Po akci se setkali 4 přátelé, aby si promluvili. Jaká je pravděpodobnost, že 3 z nich hru viděli?

Pojďme definovat proměnné experimentu:

n = 4 (je celkový vzorek, který máme)

x = počet úspěchů, který se v tomto případě rovná 3, protože hledáme pravděpodobnost, že to viděli 3 ze 4 přátel.

p = pravděpodobnost úspěchu (0,8)

q = pravděpodobnost selhání (0,2). Tento výsledek se získá odečtením 1-p.

Po definování všech našich proměnných jednoduše dosadíme do vzorce.

Čitatel faktoriálu by se získal vynásobením 4 * 3 * 2 * 1 = 24 a ve jmenovateli bychom měli 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Výsledek faktoriálu by proto byl 24/6 = 4 .
Mimo závorku máme dvě čísla. První by bylo 0,8 3 = 0,512 a druhé 0,2 (protože 4-3 = 1 a jakékoli číslo zvýšené na 1 je stejné).

Náš konečný výsledek by tedy byl: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Pokud vynásobíme 100, máme 40,96% pravděpodobnost, že 3 ze 4 přátel viděli finálový zápas Světového poháru.