Lineární kombinace vektorů

Lineární kombinace vektorů nastává, když lze vektor vyjádřit jako lineární funkci jiných vektorů, které jsou lineárně nezávislé.

Jinými slovy, lineární kombinace vektorů spočívá v tom, že vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci jiných vektorů, které jsou na sobě lineárně nezávislé.

Požadavky na lineární kombinaci vektorů

Lineární kombinace vektorů musí splňovat dva požadavky:

1. Že vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci jiných vektorů.
2. Nechte tyto další vektory být na sobě lineárně nezávislé.

Lineární kombinace v počtu

V základní matematice jsme zvyklí často vidět lineární kombinace, aniž bychom si to uvědomovali. Například čára je kombinací jedné proměnné vzhledem k druhé, takže:

Ale kořeny, logaritmy, exponenciální funkce … již nejsou lineární kombinace, protože proporce nezůstávají konstantní pro celou funkci:

Pokud tedy mluvíme o lineární kombinaci vektorů, bude mít struktura rovnice následující tvar:

Jelikož mluvíme o vektorech a předchozí rovnice odkazuje na proměnné, k vytvoření kombinace vektorů musíme proměnné nahradit pouze vektory. Nechť jsou následující vektory:

Můžeme je tedy napsat jako lineární kombinaci takto:

Vektory jsou na sobě lineárně nezávislé.

Řecký dopis lambda funguje jako parametr m v obecné rovnici přímky. Lambda bude jakékoli reálné číslo, a pokud se nezobrazí, říká se, že jeho hodnota je 1.

To, že vektory jsou lineárně nezávislé, znamená, že žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Je známo, že nezávislé vektory tvoří základ prostoru a závislý vektor do tohoto prostoru také patří.

Příklad rovnoběžnostěnu

Předpokládáme, že máme tři vektory a chceme je vyjádřit jako lineární kombinaci. Víme také, že každý vektor pochází ze stejného vrcholu a představuje úsečku tohoto vrcholu. Geometrický útvar je rovnoběžnostěn. Vzhledem k tomu, že nás informují, že geometrický útvar, který tyto vektory tvoří, je úsečkou rovnoběžnostěnu, pak vektory ohraničují tváře obrazce.

Nejprve musíme vědět, zda jsou vektory lineárně závislé. Pokud jsou vektory lineárně závislé, nemůžeme z nich vytvořit lineární kombinaci.

Tři vektory:

Jak můžeme vědět, zda jsou vektory lineárně závislé, pokud nám neposkytují informace o svých souřadnicích?

Logicky. Pokud by vektory byly lineárně závislé, pak by se všechny tváře rovnoběžnostěnu zhroutily. Jinými slovy by byly stejné.

Proto můžeme vyjádřit nový vektor w jako výsledek lineární kombinace předchozích vektorů:

Vektor, který představuje kombinaci předchozích vektorů:

Graficky: