Lineární transformace matic jsou lineární operace prostřednictvím matic, které upravují počáteční dimenzi daného vektoru.
Jinými slovy, můžeme upravit rozměr vektoru vynásobením libovolnou maticí.
Lineární transformace jsou základem vektorů a vlastních čísel matice, protože na sobě lineárně závisí.
Doporučené články: operace s maticemi, vektory a vlastními čísly.
Matematicky
Definujeme maticiC kterýkoli z rozměrů 3 × 2 vynásobený vektorem V dimenzen = 2 takové, že V = (v1, v2).
Jaký rozměr bude výsledný vektor?
Vektor, který je výsledkem součinu maticeC3×2s vektoremPROTI2×1bude novým vektorem V 'dimenze 3.
Tato změna rozměru vektoru je způsobena lineární transformací přes matici C.
Praktický příklad
Vzhledem k čtvercové maticiR s rozměrem 2 × 2 a vektoremPROTI dimenze 2.
Lineární transformace dimenze vektoruPROTI to je:
kde počáteční rozměr vektoru PROTI byla 2 × 1 a nyní konečná dimenze vektoru Vidíš3 × 1. Této změny dimenze je dosaženo vynásobením matice R.
Lze tyto lineární transformace graficky znázornit? Samozřejmě!
Reprezentujeme výsledný vektor V 'v rovině.
Pak:
V = (2,1)
V '= (6,4)
Graficky
Vlastní vektory využívající grafické znázornění
Jak můžeme určit, že vektor je vlastním vektorem dané matice pouhým pohledem na graf?
Definujeme maticiD rozměr 2 × 2:
Jsou vektory v1= (1,0) a v2= (2,4) vlastní vektory matice D?
Proces
1. Začněme prvním vektorem v1. Provedeme předchozí lineární transformaci:
Pokud tedy vektor v1 je vlastní vektor matice D, výsledný vektor v1„A vektor v1měly by patřit do stejné linie.
Zastupujeme v1 = (1,0) a v1’ = (3,0).
Protože oba v1jako V1„Patří ke stejné linii, v1 je vlastní vektor matice D.
Matematicky existuje konstantah(vlastní číslo) takové, že:
2. Pokračujeme druhým vektorem v2. Opakujeme předchozí lineární transformaci:
Pokud tedy vektor v2 je vlastní vektor matice D, výsledný vektor v2„A vektor v2 měly by patřit do stejného řádku (jako výše uvedený graf).
Zastupujeme v2 = (2,4) a v2’ = (2,24).
Protože v2 a V2„Nepatří do stejné linie, v2 není vlastní vektor matice D.
Matematicky neexistuje žádná konstantah(vlastní číslo) takové, že:
