Lineární transformace matic

Lineární transformace matic jsou lineární operace prostřednictvím matic, které upravují počáteční dimenzi daného vektoru.

Jinými slovy, můžeme upravit rozměr vektoru vynásobením libovolnou maticí.

Lineární transformace jsou základem vektorů a vlastních čísel matice, protože na sobě lineárně závisí.

Doporučené články: operace s maticemi, vektory a vlastními čísly.

Matematicky

Definujeme maticiC kterýkoli z rozměrů 3 × 2 vynásobený vektorem V dimenzen = 2 takové, že V = (v₁, v₂).

Jaký rozměr bude výsledný vektor?

Vektor, který je výsledkem součinu maticeC_3×2s vektoremPROTI_2×1bude novým vektorem V 'dimenze 3.

Tato změna rozměru vektoru je způsobena lineární transformací přes matici C.

Praktický příklad

Vzhledem k čtvercové maticiR s rozměrem 2 × 2 a vektoremPROTI dimenze 2.

Lineární transformace dimenze vektoruPROTI to je:

kde počáteční rozměr vektoru PROTI byla 2 × 1 a nyní konečná dimenze vektoru Vidíš3 × 1. Této změny dimenze je dosaženo vynásobením matice R.

Lze tyto lineární transformace graficky znázornit? Samozřejmě!

Reprezentujeme výsledný vektor V 'v rovině.

Pak:

V = (2,1)

V '= (6,4)

Graficky

Vlastní vektory využívající grafické znázornění

Jak můžeme určit, že vektor je vlastním vektorem dané matice pouhým pohledem na graf?

Definujeme maticiD rozměr 2 × 2:

Jsou vektory v₁= (1,0) a v₂= (2,4) vlastní vektory matice D?

Proces

1. Začněme prvním vektorem v₁. Provedeme předchozí lineární transformaci:

Pokud tedy vektor v₁ je vlastní vektor matice D, výsledný vektor v₁„A vektor v₁měly by patřit do stejné linie.

Zastupujeme v₁ = (1,0) a v₁’ = (3,0).

Protože oba v₁jako V₁„Patří ke stejné linii, v₁ je vlastní vektor matice D.

Matematicky existuje konstantah(vlastní číslo) takové, že:

2. Pokračujeme druhým vektorem v₂. Opakujeme předchozí lineární transformaci:

Pokud tedy vektor v₂ je vlastní vektor matice D, výsledný vektor v₂„A vektor v₂ měly by patřit do stejného řádku (jako výše uvedený graf).

Zastupujeme v₂ = (2,4) a v₂’ = (2,24).

Protože v₂ a V₂„Nepatří do stejné linie, v₂ není vlastní vektor matice D.

Matematicky neexistuje žádná konstantah(vlastní číslo) takové, že: