Inflexní bod matematické funkce je ten bod, ve kterém graf, který jej reprezentuje, mění svou konkávnost. To znamená, že jde od konkávnosti k konvexnosti nebo naopak.
Inflexní bod, jinými slovy, je ten okamžik, kdy funkce změní trend.
Chcete-li získat nápad, začněme tím, že se na něj podíváme v grafickém znázornění, zhruba:
Je třeba poznamenat, že funkce může mít více než jeden inflexní bod nebo vůbec. Například čára nemá inflexní bod.
Podívejme se v následujícím grafu na příklad funkce s více než jedním inflexním bodem:
Matematicky se inflexní bod vypočítá také nastavením druhé derivace funkce na nulu. Vyřešíme tedy kořen (nebo kořeny) této rovnice a budeme jí říkat Xi.
Potom nahradíme Xi ve třetí derivaci funkce. Pokud se výsledek liší od nuly, čelíme inflexnímu bodu.
Pokud je však výsledek nula, musíme v postupných derivacích nahradit, dokud se hodnota této derivace, ať už třetí, čtvrté nebo páté, nebude lišit od 0. Pokud je derivace lichá, jedná se o inflexní bod, ale pokud je dokonce ne.
Příklad bodu obratu
Dále se podívejme na příklad.
Předpokládejme, že máme následující funkci:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ‘= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Potom ve třetí derivaci nahradíme Xi:
y »“ = 48x
y »“ = 48x-1,25 = -60
Protože výsledek se liší od nuly, ocitáme se před inflexním bodem, který by byl, když x je rovno -1,25 a y je rovno -2,1328, jak ukazuje následující graf.
V tomto je pozorováno, že funkce má inflexní bod:
Nyní se podívejme na další příklad:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
X2=9
Xi = 3 a -3
Potom nahradíme dva kořeny nalezené ve třetí derivaci:
y »“ = 24x
y »“ = 24 × 3 = 72
y »“ = 24x-3 = -72
Protože výsledek je nenulový, máme dva inflexní body na (3,567) a (-3,567).
Chcete-li doplnit informace, zveme vás k návštěvě inflexního článku, kde se tomuto konceptu věnujeme obecněji:
Definice skloňování