Antisymetrická matice je čtvercová matice, kde jsou prvky mimo hlavní úhlopříčku symetricky stejné, ale prvky pod hlavní úhlopříčkou nesou záporné znaménko.
Jinými slovy, antisymetrická matice je matice, která má stejný počet řádků (n) a sloupců (m) a prvky na obou stranách hlavní úhlopříčky se doplňují.
Protože prvky nad a pod hlavní úhlopříčkou jsou posunuty, prvky na hlavní úhlopříčce jsou nuly.
Doporučený článek: nesymetrická matice a symetrická matice.
Charakteristika antisymetrické matice
Vlastnosti antisymetrické matice jsou:
- Čtvercová matice.
- Symetrická matice + záporné znaménko (-) v prvcích pod hlavní úhlopříčkou.
- Prvky hlavní úhlopříčky jsou nuly (0).
Antisymetrická matice
Vzhledem k čtvercové matici ESO,
Vidíme, jak se stejné prvky objevují na obou stranách hlavní úhlopříčky, ale se zvláštností, že prvky pod hlavní úhlopříčkou mají vpředu záporné znaménko. Také hlavní úhlopříčka je tvořena nulami.
Antisymetrická matice a zrcadla
Stejným způsobem jako symetrická matice lze antisymetrickou matici také pochopit prostřednictvím příkladu zrcadla.
Když se podíváme na sebe do zrcadla a zvedneme pravou ruku, uvidíme, že osoba v zrcadle zvedne levou ruku. Jinými slovy, pohyb zrcadla doplňuje náš, a proto by součet obou vedl k nule.
Výše uvedenou myšlenku můžeme vyjádřit následovně a odvodit:
(Zvedni ruku že jo) - (Zvedni ruku vlevo, odjet) = 0
(Zvedni ruku že jo) = (Zvedni ruku vlevo, odjet)
Hlavní úhlopříčka funguje jako zrcadlo a na obou stranách hlavní úhlopříčky vidíme protichůdné prvky. Neutrální funkce (=) se mapuje na hlavní úhlopříčku.
Vlastnictví
- Transponovaná matice antisymetrické matice se rovná antisymetrické matici vynásobené (-1).
Jinými slovy by to bylo jako přidání záporného znaménka před antisymetrickou matici.
Matematicky,
Vidíme, že u obou procedur dospějeme ke stejnému výsledku: matice byla transponována nebo vynásobena (-1) antisymetrickou maticí.
Nesymetrická matice vs Antisymetrická matice vs Symetrická matice
Příklad zrcadla v případě symetrické matice je dost na to, aby odrážel stejný pohyb, to znamená, že když zvedneme ruku, vidíme zvednutou ruku, ale není nutné specifikovat, o co jde. V případě antisymetrické matice musíme zkontrolovat, které rameno vidíme v zrcadle, a určit, zda se jedná o antisymetrickou matici.
Pokud zvedneme ruku a v zrcadle, vidíme, že …
- Stejná ruka je zvednutá, z pohledu osoby v zrcadle, pak je to symetrická matice.
- Opačné rameno je zvednuté, z pohledu osoby v zrcadle, pak je to antisymetrická matice.
- Pokud není zvednuto žádné rameno nebo je zvednuto více než jedna, z pohledu osoby v zrcadle jde o nesymetrickou matici.