Taylorova řada je řada sil, která sahá až do nekonečna, kde je každá z přídavků zvýšena na sílu větší než ta předchozí.
Každý prvek Taylorovy řady odpovídá n-té derivaci funkce f vyhodnocené v bodě a, mezi faktoriálem n (n!), A to vše, vynásobeno x-a, zvýšeno na mocninu n.
Formálně nebo matematicky má Taylorova řada následující podobu:
Abychom lépe porozuměli Taylorově řadě, musíme si uvědomit, že a je bod na přímce tečné k funkci f. Uvedená přímka může být zase vyjádřena jako lineární funkce, jejíž sklon je stejný sklon jako funkce f v bodě a.
Dalším aspektem, který je třeba mít na paměti, je, že f je diferencovatelná funkce nkrát v bodě a. Pokud n je nekonečno, jedná se o nekonečně diferencovatelnou funkci.
V konkrétním případě, když a = 0, se tato řada také nazývá McLaurinova řada.
Rozdíl mezi sériemi a Taylorovým polynomem
Rozdíl mezi řadovým a Taylorovým polynomem spočívá v tom, že v prvním případě mluvíme o nekonečné posloupnosti, zatímco ve druhém jde o konečnou řadu.
Taylorův polynom lze tedy definovat jako polynomické přiblížení funkce nkrát diferencovatelné v určitém bodě (a).
Taylor série příkladů
Některé příklady variant řady Taylor jsou:
- Exponenciální funkce:
- Trigonometrické funkce:
Taylorovy řady aplikací
Některé aplikace řady Taylor jsou:
- Analýza mezí.
- Analýza stacionárních bodů nebo bodů křesel ve funkcích.
- Aplikace v teorému L'Hopital (k řešení limitů).
- Integrální odhad.
- Odhad konvergencí a divergencí určitých řad.
- Analýza finančních aktiv a produktů, kdy je cena vyjádřena jako nelineární funkce.
