Taylorova řada - co to je, definice a koncept

Taylorova řada je řada sil, která sahá až do nekonečna, kde je každá z přídavků zvýšena na sílu větší než ta předchozí.

Každý prvek Taylorovy řady odpovídá n-té derivaci funkce f vyhodnocené v bodě a, mezi faktoriálem n (n!), A to vše, vynásobeno x-a, zvýšeno na mocninu n.

Formálně nebo matematicky má Taylorova řada následující podobu:

Abychom lépe porozuměli Taylorově řadě, musíme si uvědomit, že a je bod na přímce tečné k funkci f. Uvedená přímka může být zase vyjádřena jako lineární funkce, jejíž sklon je stejný sklon jako funkce f v bodě a.

Dalším aspektem, který je třeba mít na paměti, je, že f je diferencovatelná funkce nkrát v bodě a. Pokud n je nekonečno, jedná se o nekonečně diferencovatelnou funkci.

V konkrétním případě, když a = 0, se tato řada také nazývá McLaurinova řada.

Rozdíl mezi sériemi a Taylorovým polynomem

Rozdíl mezi řadovým a Taylorovým polynomem spočívá v tom, že v prvním případě mluvíme o nekonečné posloupnosti, zatímco ve druhém jde o konečnou řadu.

Taylorův polynom lze tedy definovat jako polynomické přiblížení funkce nkrát diferencovatelné v určitém bodě (a).

Taylor série příkladů

Některé příklady variant řady Taylor jsou:

• Exponenciální funkce:

• Trigonometrické funkce:

Taylorovy řady aplikací

Některé aplikace řady Taylor jsou:

• Analýza mezí.
• Analýza stacionárních bodů nebo bodů křesel ve funkcích.
• Aplikace v teorému L'Hopital (k řešení limitů).
• Integrální odhad.
• Odhad konvergencí a divergencí určitých řad.
• Analýza finančních aktiv a produktů, kdy je cena vyjádřena jako nelineární funkce.