Exponenciální funkce je základem spojitého skládání, které je výsledkem nekonečného zvyšování (když p má sklon k nekonečnu) frekvence výpočtu zájmu o složené složení.
Jinými slovy, exponenciální funkce je složené složení, kde jsou časová období mezi výpočty úroků nekonečně malá (velmi malá).
Vzorec pro exponenciální funkci je:
Kontinuální skládání lze vyjádřit jako
Přiměřené podobnosti mezi spojitou kapitalizací a exponenciální funkcí, že?
Definujeme proměnné spojité kapitalizace:
- Ct + 1: kapitál v čase t + 1 (později).
- Ct: kapitál v čase t (aktuální).
- it: úroková sazba v čase t.
- p: frekvence skládání nebo periodicita.
- t: čas.
Aplikace
Ve financích často nacházíme exponenciální funkci ve vzorci pro kontinuální kapitalizaci budoucích příjmů a v některých ekonometrických regresích.
V ekonomii to není tak populární, protože většina mikroekonomických a makroekonomických modelů předpokládá snížení mezních výnosů z jejich výrobních faktorů. V důsledku toho předpokládají, že faktory sledují logaritmické výnosy, a proto se vracejí v rozporu s exponenciální funkcí.
Příklad exponenciální funkce
Předpokládáme, že jsme americkým investorem, který chce postavit sjezdovku ve venezuelském Pico Bolívar. Počáteční investice je 100 mil. USD při roční úrokové sazbě 100%. Tento investor má dostatečnou vyjednávací sílu k určení periodicity výpočtu úroku z jeho investice.
Jakou alternativu upřednostní americký investor?
Abychom mohli odpovědět na otázku, budeme muset kapitál vypočítat včas t + 1 (Ct + 1), které investor obdrží.
Dostupné informace:
Ct: 100 milionů $
it: 100%
t: 1 (ročně)
Ct + 1: ?
| Alternativní | NA | B | C | D | A | F |
| Periodicita | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Nahradíme informace, které máme ve dvou vzorcích (funkce exp. A spojitá velká písmena)
S údaji zacházíme vyhýbáním se MM.
Dělíme (C.t + 1) na 100 v exponenciální funkci k eliminaci účinku kapitálu. Tímto způsobem posuneme čárku o dvě místa vpřed. V důsledku toho je tento efekt viditelný v následujících sloupcích výsledků.
Výsledek:
| Vzorec | Kontinuální skládání | Exponenciální funkce |
| Periodicita (p) nebo (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Když n nebo p mají sklon k nekonečnu, v tomto případě od 10 000 000, vidíme, že hodnoty konvergují k určitému číslu. Pro spojité skládání je to 271,8281 a pro exponenciální funkci je 2,718281. Obě řady se sbíhají a.
Odpověď na cvičení vyřešena
Jakou alternativu tedy americký investor nakonec zvolí, pokud z řady periodicit bude kapitál t + 1 (C.t + 1) stánky na konkrétní hodnotě?
- Pokud tento investor zachází s kapitálem jako s diskrétní proměnnou, zvolí alternativu D. Protože z alternativy C je kapitál t + 1 (Ct + 1) konverguje na 271 mil. USD.
- Pokud tento investor zachází s kapitálem jako se spojitou proměnnou, zvolí alternativu s více periodicitou. V tomto případě alternativa F. I když to nakonec konverguje k hodnotě, investor zohlední všechna desetinná místa.
Z této konvergence vyplývá, že kapitál v t + 1 (C.t + 1), počítáno pomocí spojitého vzorce nebo exponenciální funkce, sleduje klesající mezní výnosy. Jinými slovy, (C.t + 1) lze vyjádřit jako logaritmickou funkci.
Schematicky:
- Periodicita = exponenciální funkce.
- Kapitál do t + 1 (Ct + 1) = logaritmická funkce.
Grafické znázornění
V grafu vidíte, jak exponenciální funkce, která je nekonečně spojitá, roste mnohem rychleji než omezená spojitá velká písmena. Když mluvíme o spojité kapitalizaci, máme na mysli druh složené kapitalizace, ale s větší periodicitou, protože v praxi je nemožné kapitalizovat zájmy nekonečně. Myslím, že nemůžeme vydělávat každou sekundu.