Spojení událostí je operace, jejíž výsledek se skládá ze všech neopakovaných elementárních událostí, které mají dvě nebo více sad společné a nikoli společné.
To znamená, že vzhledem ke dvěma množinám A a B by spojení A a B bylo vytvořeno všemi neopakujícími se množinami, které mají A a B. Intuitivně by pravděpodobnost spojení událostí A a B znamenala reakci na otázka: Jaká je pravděpodobnost, že A vyjde nebo že B vyjde?
Symbol pro spojení událostí je U. Takovým způsobem, že pokud si chceme matematicky všimnout spojení dvou událostí B a D, všimli bychom si to jako: B U D.
Zobecnění událostí
Zatím jsme viděli a naznačili spojení dvou událostí. Například A U B nebo B U D. Ale co když máme tři, čtyři a dokonce sto událostí?
To je to, čemu říkáme zobecnění, to znamená vzorec, který nám v těchto případech pomůže všimnout si spojení operací událostí. Pokud máme 8 událostí, namísto zápisu deseti událostí použijeme následující zápis:
Místo volání každé události A, B nebo jakéhokoli písmene budeme volat Ano. S je událost a dolní index i označuje číslo. Takovým způsobem, který budeme mít, aplikovaný na příklad 10 událostí, následující:
To, co jsme udělali, je použít předchozí notaci a vytvořit ji. Nyní to nebudeme vždy potřebovat. Zvláště pokud jde o velké množství událostí.
Spojení nesouvislých a nedisjunktních událostí
Koncept disjunktních událostí naznačuje, že dvě události nemají společné žádné prvky.
Když jsou disjunktní, operace sjednocení události je jednoduchá. Musíte pouze přidat pravděpodobnosti obou, abyste získali pravděpodobnost, že dojde k jedné nebo druhé události. Pokud však události nejsou disjunktní, je třeba přidat malý detail. Opakované prvky musí být vyloučeny. Například:
Předpokládejme výsledný prostor, který se pohybuje od 1 do 5. Události jsou následující:
Událost A: (1,2,4) -> 60% pravděpodobnost = 0,6
Událost B: (1,4,5) -> 60% pravděpodobnost = 0,6
Operace A U B by intuitivně spočívala v přidání událostí A a událostí B, ale pokud to uděláme, pravděpodobnost by byla 1,2 (0,6 + 0,6). A jak naznačují axiomy pravděpodobnosti, pravděpodobnost musí být vždy mezi 0 a 1. Jak to vyřešíme? Odečtení průsečíku událostí A a B. To znamená odstranění prvků, které se opakují:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Pokud jde o pravděpodobnosti, museli bychom:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Pravděpodobnost, že se objeví 1 nebo 2 nebo 4 nebo 5. Za předpokladu, že všechna čísla mají stejnou pravděpodobnost výskytu, je 80%.
Graficky by to vypadalo takto:
Vlastnosti sjednocení události
Spojení událostí je druh matematické operace. Některé typy operací jsou také sčítání, odčítání, násobení. Každý z nich má řadu vlastností. Například víme, že výsledek přidání 3 + 4 je přesně stejný jako výsledek přidání 4 +3. V tomto okamžiku má sjednocení události několik vlastností, které stojí za to znát:
- Komutativní: To znamená, že pořadí, ve kterém je napsáno, nemění výsledek. Například:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Asociativní: Za předpokladu, že existují tři události, je nám jedno, která z nich má udělat jako první a která další. Například:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Distribuční: Když zahrneme typ operace křižovatky, distribuční vlastnost zůstane. Stačí se podívat na následující příklad:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Příklad unie událostí
Jednoduchý příklad spojení dvou událostí A a B by byl následující. Předpokládejme, že se jedná o losování dokonalé kostky. Kostka, která má šest tváří očíslovaných od 1 do 6. Takovým způsobem, že události jsou definovány níže:
NA: Že je větší než 2. (3,4,5,6) v pravděpodobnosti je 4/6 => P (A) = 0,67
C: Nechte pět vyjít. (5) v pravděpodobnosti je 1/6 => P (C) = 0,17
Jaká je pravděpodobnost A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Protože P (A) a P (C) ji již mají, budeme počítat P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) v pravděpodobnostech P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Konečným výsledkem je:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Pravděpodobnost, že bude házet větší než 2 nebo že bude házet 5, je 67%.
