Petrohradský paradox je paradox, který pozoroval Nicolaus Bernoulli, a to má svůj důvod pro hraní hazardních her. Tento paradox nám říká, že v teorii rozhodování jsou přijímány všechny sázky bez ohledu na jejich hodnotu, i když nám uvedená hodnota ukazuje, že nejde o racionální rozhodnutí.
Petrohradský paradox, abychom jej správně pochopili, byl paradox, který popsal Nicolaus Bernoulli po sledování hazardních her, a proto tento paradox existuje.
Teorie herV tomto smyslu nám paradox říká, že teorie formulovaných rozhodnutí nám ukazuje, že racionální rozhodnutí v sázkové hře je vše, bez ohledu na částku, kterou každá sázka předpokládá. Avšak při správné analýze této situace a při přesné péči o teorii pozorujeme, že žádná racionální bytost by se nerozhodla učinit rozhodnutí vsadit částku peněz blízkou nekonečnu, ačkoli teorie naznačuje, že je racionální. Z tohoto důvodu vzniká paradox.
Paradox zpočátku pozoruje Nicolaus Bernoulli, jak se objevuje v dopise, který poslal 9. září 1713 francouzskému aristokratovi a matematikovi Pierre de Montmort.
Protože však Nicolausova studie nepřinesla výsledky, představil paradox v roce 1715 svému bratranci Danielu Bernoullimu, matematikovi nizozemského původu a rektorovi univerzity v Basileji, který se v Petrohradu setkal s významnou skupinou vědců a poté let výzkumu, publikoval v roce 1738 nový měřicí systém ve své práci „Expozice nové teorie v měření rizik“.
Model navržený Danielem, na rozdíl od modelu, který navrhl Nicolaus, klade základy pro to, co by později vylepšilo a doplnilo teorii očekávané užitečnosti.
Petrohradský paradoxní vzorec
Formulace, kterou navrhl Nicolaus Bernoulli svému bratranci a Pierre de Montmortovi, je následující:
Představme si hazardní hru, ve které hráč samozřejmě musí za účast zaplatit částku.
Předpokládejme, že hráč sází na ocasy a hodí minci postupně, dokud ocasy nebudou. Po ukončení hry je hra zastavena a hráč dostane $ 2 n.
Pokud tedy ocasy, hráč nejprve vyhraje 2 1, což jsou 2 $. Pokud se ale ocasy znovu objeví, získá 2 2, což jsou 4 $ atd. Pokud vyjde znovu, bude to 8 dolarů, což je ekvivalent 2 3; zatímco, pokud vyjde počtvrté, bude cena 16 dolarů, což je reprezentace 2 4.
Nicolausova otázka tedy byla následující: S přihlédnutím k výše uvedené posloupnosti a zisku, kolik by byl hráč ochotný zaplatit za tuto hru, aniž by ztratil racionalitu?
Příklad Petrohradského paradoxu
Vezmeme-li v úvahu formulaci navrženou Nicolausem a pochybnosti, které položil francouzskému matematikovi a jeho bratranci, podívejme se na příklad tohoto paradoxu, abychom pochopili, co máme na mysli.
Nejprve musíme vědět, že před začátkem hry máme nekonečné množství možných výsledků. I když je pravděpodobnost 1/2, ocasy nemusí vyjít až do 8. hodu.
Pravděpodobnost, že se tento kříž objeví na hodu k, je tedy:
Pk = 1 / 2k
Zisk je také 2 tis.
Pokračováním vývoje budou první ocasy v 1. hodu zisk 21 (2 $) a pravděpodobnost 1/2. Ocasy na 2. pokus mají zisk 22 (4 dolary) a pravděpodobnost 1/22; zatímco při třetím pokusu má hráč výhru 23 (8 $) a pravděpodobnost 1/23. Jak vidíme, vztah, který se prodlužuje, pokud přidáme běhy.
Před pokračováním je třeba poznamenat, že v teorii rozhodování nazýváme matematické očekávání (EM) nebo očekávané vítězství hry, součet cen spojených s každým z možných výsledků hry a všechny vážené podle pravděpodobnost, že dojde ke každému z těchto výsledků.
Vezmeme-li v úvahu přístup, který ukazuje tento paradox, vidíme, že při hraní je pravděpodobnost výhry 2 dolary 1/2, ale navíc pravděpodobnost výhry 4 je 1/4, zatímco pravděpodobnost výhry 8 dolarů je 1/8. To, dokud nedosáhnete situací, jako je výhra 64 dolarů, je pravděpodobnost pro tento případ 1/64.
Takže s těmito výsledky, pokud vypočítáme matematické očekávání, nebo to, co známe jako očekávané vítězství hry, musíme přidat výhry všech možných výsledků vážených pravděpodobností jejich výskytu, takže výsledek nám ukazuje nekonečný hodnota.
Řídíme-li se teorií volby, říká nám, že bychom měli vsadit jakoukoli částku pro prostý fakt, že každé rozhodnutí je pro nás příznivé. Skutečnost, že se jedná o paradox, nyní spočívá v tom, že hráč racionálně nebude sázet donekonečna, i když ho k tomu tlačí teorie.
Prominentní paradox
Mnozí z nich byli matematici, kteří se pokoušeli rozluštit paradox, který navrhl Bernoulli, nicméně je také mnoho těch, kteří jej nedokázali vyřešit.
Existuje tedy řada příkladů, které nám ukazují, jak se paradox pokusili vyřešit matematici, kteří se zabývali jak strukturou hry, tak rozhodováním samotných jednotlivců. K dnešnímu dni však stále nemůžeme najít platné řešení.
A je to tak, že pro získání představy o složitosti tohoto paradoxu, s přihlédnutím k teorii volby v tomto příkladu, předpokládáme jako možnou cenu po výpočtu nekonečné množství mincí, které i za předpokladu, že je to možné, bylo by to neslučitelné se samotným peněžním systémem, protože jde o peníze, které jsou na rozdíl od paradoxu omezené.
