Matematický model je model, který používá matematické vzorce k vyjádření vztahu mezi různými proměnnými, parametry a omezeními.
Matematický model je zjednodušené znázornění jevu nebo vztahu mezi dvěma nebo více proměnnými pomocí matematických rovnic, funkcí nebo vzorců. Odvětví matematiky, které je odpovědné za studium kvalit a struktury modelů, je takzvaná „teorie modelů“.
K čemu je matematický model?
Matematické modely se používají k analýze vztahu mezi dvěma nebo více proměnnými. Mohou být použity k pochopení přírodních, sociálních, fyzických jevů atd. V závislosti na sledovaném cíli a designu stejného modelu mohou být použity k předpovědi hodnoty proměnných v budoucnosti, k vytváření hypotéz, k vyhodnocení účinků určité politiky nebo činnosti, mimo jiné k cílům.
Ačkoli se to jeví jako teoretický koncept, ve skutečnosti existuje mnoho aspektů každodenního života, které se řídí matematickými modely. Stává se, že nejde o matematické modely zaměřené na teoretizování. Jedná se spíše o matematické modely formulované tak, aby něco fungovalo. Například auto.
Základní prvky matematického modelu
Složitost matematických modelů se může lišit, ale všechny mají řadu základních charakteristik:
- Proměnné: Jsou to koncepty nebo objekty, kterým se člověk snaží porozumět nebo analyzovat. Zejména s ohledem na jeho vztah s jinými proměnnými. Proměnnou tedy může být například plat pracovníků a to, co chceme analyzovat, jsou jejich hlavní determinanty (například: roky studia, vzdělání rodičů, místo narození atd.).
- Parametry: Jedná se o známé nebo kontrolovatelné hodnoty modelu.
- Omezení: Jsou to určité limity, které naznačují, že výsledky analýzy jsou přiměřené. Například pokud je jednou z proměnných počet dětí v rodině, přirozeným omezením je, že tato hodnota nemůže být záporná.
- Vztahy mezi proměnnými: Model vytváří určitý vztah mezi proměnnými na základě ekonomických, fyzikálních, chemických teorií atd.
- Zjednodušená reprezentace: Jednou ze základních charakteristik matematického modelu je reprezentace vztahů mezi studovanými proměnnými prostřednictvím prvků matematiky, jako jsou: funkce, rovnice, vzorce atd.
Požadované vlastnosti matematického modelu
Když je navržen matematický model, je zamýšleno, že má sadu vlastností, které pomáhají zajistit jeho robustnost a účinnost. Mezi tyto vlastnosti patří:
- Jednoduchost: Jedním z hlavních cílů matematického modelu je zjednodušit realitu, abychom jí lépe porozuměli.
- Objektivnost: Že nemá předsudky ani teoretické, ani předsudky nebo nápady svých návrhářů.
- Citlivost: Je schopen odrážet účinky malých variací.
- Stabilita: Že matematický model se významně nezmění, když dojde k malým změnám v proměnných.
- Univerzálnost: Že je použitelná v několika kontextech, nejen v konkrétním případě.
Je zřejmé, že jich je mnohem více, ale výše uvedené jsou nejintuitivnější.
Procesy pro vytvoření matematického modelu
Obecně lze říci, že proces vývoje matematického modelu je následující:
- Najděte fenomén nebo problém.
- Formulujte model s prvky matematiky představujícími vybraný problém identifikující relevantní proměnné (závislé a nezávislé).
- Stanovte hypotézy a testovací metodu pro jejich pravdivost.
- Aplikujte matematické znalosti k vyřešení modelu a v případě potřeby proveďte předpovědi.
- Proveďte srovnání získaných dat se skutečnými daty.
- Pokud výsledky nesplňují očekávání, upravte matematický model.
Druhy matematických modelů
Existuje mnoho typů matematických modelů. Zde jsou některé z nejrelevantnějších typů modelů:
Podle použitých informací
- Heuristický: Na základě možných vysvětlení příčin pozorovaných jevů.
- Empirický: Používá informace ze skutečných experimentů.
Podle typu zastoupení
- Kvalitativní nebo koncepční: Odvolávají se na analýzu kvality nebo trendu jevu bez výpočtu přesné hodnoty.
- Kvantitativní nebo numerické: Získané výsledky mají konkrétní hodnotu, která má určitý význam (může být přesný nebo relativní).
Podle náhodnosti
- Deterministický: Nemá nejistotu, hodnoty jsou známé.
- Stochastický: Hodnota proměnných není vždy přesně známa. Existuje nejistota, a proto je pravděpodobné rozdělení výsledků.
Podle vaší žádosti nebo cíle
- Simulace nebo popis: Simuluje nebo popisuje jev. Výsledky jsou zaměřeny na předvídání toho, co se stane v určité situaci.
- Optimalizace: Používají se k nalezení optimálního řešení problému.
- Kontroly: Udržovat kontrolu nad organizací nebo systémem a určit proměnné, které je třeba upravit, aby se dosáhlo požadovaných výsledků.