Bernoulliho distribuce je teoretický model používaný k reprezentaci diskrétní náhodné proměnné, která může skončit pouze dvěma vzájemně se vylučujícími výsledky.
Doporučené články: ukázkový prostor, Bernoulliho distribuce a Laplaceův zákon.
Bernoulliho příklad
Předpokládáme, že jsme velmi fanoušci jezdce v cyklistické soutěži, ve které soutěží pouze dva jezdci. Chceme se vsadit, že broker vyhraje.
Pokud tedy vyhrajete, bude to výsledek „úspěchu“ a pokud prohrajete, bude to výsledek „bez úspěchu“. Schematicky:
S tímto příkladem jsme zacházeli jako s dichotomickým případem. To znamená, že existují pouze dva možné výsledky (pro zjednodušení situace). V teoretických knihách najdeme typický příklad losování neoklamané mince, které spočívá v získávání hlav nebo ocasů. Protože již neexistují žádné další možné výsledky, stane se získání parametru p elementárním.
V našem příkladu makléře jsme také mohli považovat za „neúspěšné“ získání jiné pozice než prvního. Pak by se změnil parametr p a byl by to počet, kolikrát může být broker nejprve vydělen počtem celkových pozic. Schematicky:
Zde se parametr p na první pohled nezdá příliš zřejmý, ale jde pouze o aplikaci Laplaceova zákona.
Předpokládáme, že existuje pouze 10 pozic, ve kterých může běžec v závodě získat pouze jednu z nich. Pak,
Cvičení
Vypočítejte funkci distribuce běžců v soutěži 10 běžců.
Bernoulliho distribuční funkce
- Přístup.
Definujeme dvě hodnoty, které může mít náhodná proměnná, která následuje po Bernoulliho distribuci.
Z = 1, pokud závodník zvítězí v soutěži = 1. místo = ÚSPĚCH.
Z = 0, pokud běžec prohraje soutěž = ne 1. místo = NEÚSPĚŠNÉ.
- Přiřazení a výpočet pravděpodobností.
Jakmile jsme definovali hodnoty Z, přiřadíme pravděpodobnosti výsledku experimentu:
Nahoře v příkladu jsme již vypočítali pravděpodobnosti pomocí Laplaceova zákona. Výsledkem bylo, že p = 1/10 a (1-p) = 0,9.
- Výpočet distribuční funkce.
Nyní musíme nahradit předchozí proměnné ve vzorci distribuční funkce.
Vidíme, že předchozí výrazy lze vyjádřit také takto:
Vidíme, že při použití tak či onak bude pravděpodobnost úspěchu, tedy pravděpodobnost, že běžec vyhraje soutěž, vždy p = 1/10 a pravděpodobnost neúspěchu, tedy pravděpodobnost, že prohraje. soutěž bude také vždy (1-p) = 9/10.
Běžec tedy sleduje Bernoulliho rozdělení s pravděpodobností p = 0,1:
