Čtyřstěn je mnohostěn se čtyřmi plochami, šesti hranami a čtyřmi vrcholy. Je to trojrozměrná postava tvořená několika polygony, které jsou v tomto případě trojúhelníky.
Čtyřstěn se vyznačuje tím, že je nejjednodušší z mnohostěnů a jediný, který má méně než pět stran.
Stojí za zmínku, že čtyřstěn je pyramida s trojúhelníkovou základnou.
Prvky čtyřstěnu
Prvky čtyřstěnu, které nás vedou z obrázku níže, jsou:
- Tváře: Jsou to strany čtyřstěnu, které, jak jsme již zmínili, jsou trojúhelníky (ABC, ADC, ADB a BDC.
- Hrany: Je to spojení dvou tváří: AB, AC, AD, BC, CD a DB.
- Vrcholy: Jsou to ty body, kde se hrany setkávají: A, B, C a D.
- Dihedrální úhel: Je tvořen spojením dvou tváří.
- Úhel mnohostěnu: Je to ten, který je tvořen stranami, které se shodují v jediném vrcholu.
Plocha a objem čtyřstěnu
Abychom poznali charakteristiky čtyřstěnu, můžeme vypočítat:
- Plocha: Bylo by třeba přidat plochu čtyř trojúhelníků, které tvoří mnohostěn. V tomto smyslu si musíme pamatovat, že plocha trojúhelníku se vypočítá vynásobením základny výškou a dělením 2 (A = bxh / 2)
- Objem: Bylo by to vypočítáno podle následujícího vzorce
Ve vzorci je b libovolná plocha mnohostěnu a h je výška nebo segment, který spojuje b s opačným vrcholem. Výška je navíc kolmá k základně (tvoří pravý úhel nebo měří 90 °).
Pravidelný čtyřstěn
Když jsou všechny trojúhelníky, které tvoří čtyřstěn, rovnostranné trojúhelníky navzájem identické, čelíme pravidelnému čtyřstěnu. To znamená, že by se jednalo o běžný mnohostěn, jehož tváře jsou stejné a každý z nich je také pravidelný mnohoúhelník.
V tomto bodě si musíme pamatovat, že pravidelný mnohoúhelník je takový, kde všechny strany mají stejnou délku a také jejich vnitřní úhly jsou stejné.
Připomeňme si tedy, že plochu (A) rovnostranného trojúhelníku lze vypočítat pomocí Heronova vzorce, kde a, b a c jsou rozměry stran a s je semiperimetr, což je obvod (P) mezi dvěma.
Pak ano:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Musíme:
Poté, co existují čtyři trojúhelníky, vynásobíme plochu každého z nich 4, abychom našli oblast čtyřstěnu (AT):
Na druhou stranu, pokud chceme vypočítat objem, musíme zjistit výšku mnohostěnu. K tomu se budeme řídit následujícím obrázkem:
Nejprve vypočítáme výšku (h) základny (v tomto příkladu trojúhelník ABC), což je segment EB. Úhel X měří 90 °, takže musí být splněna Pythagorova věta a přepona (BA), která měří a (délka všech okrajů v tomto čtyřstěnu), se rovná součtu každé nohy na druhou. Jedna z nohou je EA, je to střed segmentu AC (E rozřízne stranu na dvě stejné části) a měří a / 2. Druhá noha je také výška základny (h nebo EB).
Potom podle vlastnosti pravidelného čtyřstěnu, kde F je střed trojúhelníku, bude EF jedna třetina segmentu EB, tj. Jedna třetina h.
Dalším krokem, abychom našli výšku čtyřstěnu (DF), můžeme znovu použít Pythagorovu větu, protože protože výška je kolmá, úhel Y je pravý (měří 90 °).
Při pohledu na trojúhelník DEF je přeponou DE, což je výška trojúhelníku ADC, a protože jsou všechny tváře stejné, je to stejná výška h trojúhelníku ABC. Jedna noha je zase výška čtyřstěnu (DF), kterou budeme nazývat ht, a druhá noha je segment EF, který jsme již vypočítali. Proto:
Nakonec, abychom zjistili objem čtyřstěnu (V), jak jsme vysvětlili dříve, vynásobíme výšku obrázku (ht) plochou základny (A), která se vypočítá výše, a vydělíme ji třemi:
Příklad čtyřstěnu
Za předpokladu, že čtyřstěn je pravidelný a každá jeho strana je 20 metrů. Jaká je plocha (AT) a objem (V) obrázku?
