Darmoisova věta - co to je, definice a pojem

Darmoisova věta je věta, která umožňuje najít statistiku T pro parametr θ s vlastností dostatečného.

Ještě jednoduššími slovy umožňuje nalezení matematického výrazu dostatečné statistiky, pokud existuje.

Ve vztahu ke kritériu Fisher-Neymanův faktoring můžeme uvažovat. Kritérium Fisher-Neymanův faktoring slouží jak ke kontrole, zda statistika splňuje vlastnost dostatečné, tak k nalezení matematického vyjádření dostatečné statistiky (pokud existuje). Naproti tomu Darmoisova věta umožňuje najít pouze matematické vyjádření (pokud existuje) dostatečné statistiky.

Řekněme, že zatímco Fisherovo-Neymanovo faktoringové kritérium se pohybuje dopředu (vyhledávání) a dozadu (kontrola), Darmoisova věta se pohybuje pouze dopředu (vyhledávání).

Darmoisova věta

Teoreticky je to vyjádřeno vzhledem k jednoduchému náhodnému vzorku náhodné veličiny X s hustotní funkcí f (x; θ) s θ ∈ Ω. Pokud tato funkce patří do exponenciální rodiny, to znamená, lze ji vyjádřit tak, že:

f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)

Pak statistika T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)

Pro usnadnění výpočtů se obvykle provádí logaritmická notace:

lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))

Samozřejmě je těžké pochopit celou tuto matematickou notaci. Objeví se mnoho neznámých, mnoho písmen, mnoho operátorů. Pojďme to znovu definovat hovorovými slovy. Za tímto účelem začneme s teoretickou definicí aplikovanou na příklad:

Předpokládejme náhodný vzorek 50 dětí (jednoduchý náhodný vzorek), kterým se zeptáme, kolik peněz za týden utratí za sladkosti (náhodná proměnná X) s danou funkcí hustoty (viz funkce hustoty). Pokud tedy tuto funkci hustoty můžeme vyjádřit takto:

Zjistíme, že dostatečná statistika je součtem výrazu a (x)

Části vzorce jsou definovány takto:

• lnβ (θ): Je to funkce, která závisí pouze na parametru (v našem případě průměr)
• lnb (x): Je to funkce, která závisí pouze na náhodné proměnné X
• a (x): Je to funkce, která závisí pouze na X a vynásobí α (θ)
• α (θ): Je to funkce, která závisí pouze na parametru (v našem případě průměr)

Darmoisova věta v praxi

I když všichni máme schopnost a nástroje objevovat nové statistiky, je to zřídka normou. Jinými slovy, profesoři ekonomie a odborníci v oboru provádějí výzkum těchto témat.

Z osobního hlediska je těžké najít někoho, kdo by se věnoval tomuto typu výzkumu. V praxi je tedy důležitou věcí této věty pochopit, odkud pocházejí tyto statistiky, které používáme.

Například pro někoho, kdo zjistí, že průměr je dostatečná statistika, pravděpodobně použil tento proces.