Darmoisova věta je věta, která umožňuje najít statistiku T pro parametr θ s vlastností dostatečného.
Ještě jednoduššími slovy umožňuje nalezení matematického výrazu dostatečné statistiky, pokud existuje.
Ve vztahu ke kritériu Fisher-Neymanův faktoring můžeme uvažovat. Kritérium Fisher-Neymanův faktoring slouží jak ke kontrole, zda statistika splňuje vlastnost dostatečné, tak k nalezení matematického vyjádření dostatečné statistiky (pokud existuje). Naproti tomu Darmoisova věta umožňuje najít pouze matematické vyjádření (pokud existuje) dostatečné statistiky.
Řekněme, že zatímco Fisherovo-Neymanovo faktoringové kritérium se pohybuje dopředu (vyhledávání) a dozadu (kontrola), Darmoisova věta se pohybuje pouze dopředu (vyhledávání).
Darmoisova věta
Teoreticky je to vyjádřeno vzhledem k jednoduchému náhodnému vzorku náhodné veličiny X s hustotní funkcí f (x; θ) s θ ∈ Ω. Pokud tato funkce patří do exponenciální rodiny, to znamená, lze ji vyjádřit tak, že:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Pak statistika T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Pro usnadnění výpočtů se obvykle provádí logaritmická notace:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Samozřejmě je těžké pochopit celou tuto matematickou notaci. Objeví se mnoho neznámých, mnoho písmen, mnoho operátorů. Pojďme to znovu definovat hovorovými slovy. Za tímto účelem začneme s teoretickou definicí aplikovanou na příklad:
Předpokládejme náhodný vzorek 50 dětí (jednoduchý náhodný vzorek), kterým se zeptáme, kolik peněz za týden utratí za sladkosti (náhodná proměnná X) s danou funkcí hustoty (viz funkce hustoty). Pokud tedy tuto funkci hustoty můžeme vyjádřit takto:
Zjistíme, že dostatečná statistika je součtem výrazu a (x)
Části vzorce jsou definovány takto:
- lnβ (θ): Je to funkce, která závisí pouze na parametru (v našem případě průměr)
- lnb (x): Je to funkce, která závisí pouze na náhodné proměnné X
- a (x): Je to funkce, která závisí pouze na X a vynásobí α (θ)
- α (θ): Je to funkce, která závisí pouze na parametru (v našem případě průměr)
Darmoisova věta v praxi
I když všichni máme schopnost a nástroje objevovat nové statistiky, je to zřídka normou. Jinými slovy, profesoři ekonomie a odborníci v oboru provádějí výzkum těchto témat.
Z osobního hlediska je těžké najít někoho, kdo by se věnoval tomuto typu výzkumu. V praxi je tedy důležitou věcí této věty pochopit, odkud pocházejí tyto statistiky, které používáme.
Například pro někoho, kdo zjistí, že průměr je dostatečná statistika, pravděpodobně použil tento proces.