Termín konkávní se používá k popisu povrchu, který má vnitřní zakřivení, jehož střední část je nejvíce propadlá nebo depresivní.
Proto říkáme, že kopec nebo překážka, jako je ta, kterou lze vidět na silnicích omezujících rychlost, je konkávní.
Podobně je možné analyzovat, zda existují geometrické obrazce, které jsou také konkávní. Například konkávní křivka je křivka s obráceným tvarem U. Jedním ze způsobů, jak si snadno zapamatovat, jak vypadá konkávní funkce, je smutná tvář.
Přestože použití konkávnosti bylo ve vztahu ke křivce, pravdou je, že je použitelné také pro matematické funkce a polygony, jak uvidíme později.
Jak zjistit, zda je funkce konkávní?
Pokud je druhá derivace funkce v bodě menší než nula, je funkce v tomto bodě konkávní.
Výše uvedené lze vyjádřit takto:
f »(x) <0
Například máme funkci f (x) = -x2 + 2x + 5. Jeho první derivací je f '(x) = -2x +2 a jeho druhou derivací bude f »(x) = -2. Proto funkce f (x) = x2 + x + 3 je konkávní pro každou hodnotu x, jak vidíme v níže uvedeném grafu, což je parabola:
Nyní si představme tuto další funkci f (x) = x3-5x2 +7. Jeho první derivace f '(x) = 3x2 -10x a jeho druhá derivace f »(x) = 6x -10. Jakmile máme druhou derivaci vypočítanou, musíme zkontrolovat, jaké hodnoty x, funkce je konvexní.
Nastavili jsme tedy druhou derivaci na 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Proto je funkce konkávní, když x je menší než 1,67, protože druhá derivace rovnice je záporná. Můžeme to zkontrolovat nahrazením různých hodnot x. Stejně tak je funkce konvexní, když x je větší než 1,67, jak vidíme na obrázku níže:
Konkávní mnohoúhelník
Konkávní mnohoúhelník je takový, kde pro spojení dvou jeho bodů musí být nakreslena přímka, která je vně obrázku (vnější úhlopříčka). Alespoň jeden z jeho vnitřních úhlů je také větší než 180 °. Jedná se například o konkávní čtyřúhelník, jako je ten, který vidíme níže:
Opakem konkávního mnohoúhelníku je konvexní. Jedná se o ten, kde jsou všechny vnitřní úhly menší než 180 ° a pro spojení libovolných dvou bodů na obrázku lze nakreslit přímku, která zůstane uvnitř mnohoúhelníku.