Čebyševova nerovnost - co to je, definice a pojem

Čebyševova nerovnost je věta používaná ve statistikách, která poskytuje konzervativní odhad (interval spolehlivosti) pravděpodobnosti, že náhodná proměnná s konečnou odchylkou bude v určité vzdálenosti od jejího matematického očekávání nebo od jejího průměru.

Jeho formální vyjádření je následující:

X = Odhadovaná hodnota

µ = Matematické očekávání odhadované hodnoty

Ϭ = směrodatná odchylka očekávané hodnoty

k = počet směrodatných odchylek

Počínaje tímto obecným výrazem a vývojem části, která zůstává v absolutní hodnotě, bychom měli následující:

Pokud věnujeme pozornost předchozímu výrazu, je vidět, že část vlevo není větší než a interval spolehlivosti. To nám nabízí jak dolní, tak horní mez pro odhadovanou hodnotu. Čebyševova nerovnost nám proto říká minimální pravděpodobnost, že parametr populace je v určitém počtu směrodatných odchylek nad nebo pod jeho průměrem. Nebo jinak řečeno, dává nám pravděpodobnost, že parametr populace je v tomto intervalu spolehlivosti.

Čebyševova nerovnost poskytuje přibližné hranice pro odhadovanou hodnotu. Přesto, že má určitou míru nepřesnosti, je to velmi užitečná věta, protože ji lze použít na širokou škálu náhodných proměnných bez ohledu na jejich rozdělení. Jediným omezením, které umožňuje tuto nerovnost, je to, že k musí být větší než 1 (k> 1).

Příklad aplikace Čebyševovy nerovnosti

Předpokládejme, že jsme správci investičního fondu. Portfolio, které spravujeme, má průměrný výnos 8,14% a standardní odchylku 5,12%. Abychom například věděli, jaké procento našich výnosů jsou alespoň 3 standardní odchylky od naší průměrné ziskovosti, jednoduše použijeme předchozí vzorec výrazu 2.

k = 1,96

Dosazením hodnoty k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%

To znamená, že 73,9% výsledků je v intervalu spolehlivosti umístěném na 1,96 standardní odchylce od průměru.

Udělejme předchozí příklad pro jiné hodnoty než k.

k = 2,46
k = 3

Nahrazení hodnoty k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%

Nahrazení hodnoty k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%

Existuje 83,5% dat, která jsou ve vzdálenosti 2,46 standardní odchylky od průměru a 88,9%, která jsou v rozmezí 3 standardních odchylek od průměru.

Pomocí Čebyševovy nerovnosti lze snadno odvodit, že čím vyšší je hodnota K (čím větší je odchylka odhadované hodnoty od jejího průměru), tím větší je pravděpodobnost, že se náhodná proměnná nachází v ohraničeném intervalu.