Teorie množin - co to je, definice a pojem
Teorie množin je odvětví matematiky (a logiky), které se věnuje studiu charakteristik množin a operací, které mezi nimi lze provádět.
To znamená, že teorie množin je oblast studia zaměřená na množiny. Proto má na starosti analýzu jak atributů, které mají, tak vztahů, které mezi nimi mohou být vytvořeny. To znamená jeho spojení, průnik, doplněk nebo jiné.
Musíme si uvědomit, že množina je seskupení prvků, ať už jde o čísla, písmena, slova, funkce, symboly, geometrické obrazce nebo jiné.
K určení množiny je obvykle definována charakteristika, kterou mají společné její prvky. Například množina A s celými čísly, kladnými a sudými čísly menšími než 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Historie teorie množin
Historie teorie množin lze vysledovat až k práci Georga Cantora, německého matematika ruského původu, který je považován za otce této disciplíny.
Mezi tématy, která Cantor studoval, vyniká například téma nekonečných množin a numerických množin.
Cantorova první práce na teorii množin pochází z roku 1874. Kromě toho stojí za zmínku, že si často vyměňoval myšlenky s matematikem Richardem Dedekindem, který přispěl ke studiu přirozených čísel.
Číselné sady
Numerické sady jsou různá seskupení, ve kterých jsou čísla klasifikována podle jejich různých charakteristik. Jedná se o abstraktní konstrukci, která má v matematice důležité uplatnění.
Numerické sady jsou složité, imaginární, skutečné, iracionální, racionální, celé a přirozené a lze je ilustrovat v následujícím Vennově diagramu:
Složitá číslaImaginární číslaSkutečná číslaIracionální číslaRacionální číslaCeločíselná číslaPřirozená čísla
Nastavit algebru
Algebra množin zahrnuje vztahy, které lze mezi nimi navázat.
Vynikají tedy následující operace:
- Unie sad: Spojení dvou nebo více sad obsahuje každý prvek, který je obsažen alespoň v jedné z nich.
- Průnik množin: Průnik dvou nebo více sad zahrnuje všechny prvky, které tyto sady sdílejí nebo mají společné.
- Nastavit rozdíl: Rozdíl jedné sady vzhledem k druhé se rovná prvkům první sady minus prvky druhé.
- Doplňkové sady: Doplněk sady zahrnuje všechny prvky, které nejsou obsaženy v této sadě (ale které patří do jiné referenční sady).
- Symetrický rozdíl: Symetrický rozdíl dvou sad zahrnuje všechny prvky, které jsou v jedné nebo druhé, ale ne v obou současně.
- Kartézský součin: Jedná se o operaci, jejímž výsledkem je nová sada. Obsahuje jako prvky uspořádané páry nebo n-tice (seřazené řady) prvků, které patří ke dvěma nebo více sadám. Jsou to seřazené páry, pokud jsou to dvě sady, a n-tice, pokud jsou více než dvě sady.
