Přirozený logaritmus - co to je, definice a pojem

Přirozený logaritmus, ln (x), je inverzní funkcí exponenciální funkce a definováno v x pouze pro kladná reálná čísla.

Přirozeným logaritmem je intuitivně vyřešena následující rovnice:

a^Y= x

Kde by „y“ byl výsledek, který hledáme. To znamená, že pokud je x 20, kolik „y“ musí mít hodnotu, když ji zvýšíme na „e“, aby byla rovnice splněna. Například výsledek ln (20)

a^Y= 20 ⇒ y = 3

Vezmeme-li v úvahu, že číslo „e“ má hodnotu 2,7182818… ověříme, že pokud jej zvýšíme na 3, výsledek je skutečně 20,07. Je tomu tak, protože přirozený logaritmus 20 je ve skutečnosti 2,99. Ale v tomto příkladu jsme použili 3, abychom to usnadnili.

Doména přirozeného logaritmu

Matematicky je doménou přirozeného logaritmu:

(x ∈ ℜ: x> 0)

To znamená, že x musí být reálné číslo větší než nula. Jinak funkce neexistuje. Způsob, jak to zkontrolovat, je upřímně jednoduchý. Musíme to zkontrolovat pouze číslem, které je nula nebo méně. Například:

a^Y= 0 ⇒ y = Žádný výsledek

Neexistuje žádné číslo „y“, které by při zvýšení na „e“ vedlo k nule. Můžeme se dostat velmi blízko k nule, ale výsledek nikdy nebude nulový.

Přesnějším způsobem můžeme definici rozšířit nad pozitivní reálné oblasti na komplexní čísla. Pro jakékoli negativní reálné x bychom definovali, kde efektivně i odpovídá druhé odmocnině z (-1). Jedná se však o pokročilejší poznámku a není objektivní uvádět v tomto vysvětlení podrobnosti o komplexních číslech.

Grafické znázornění přirozeného logaritmu

Grafické znázornění této funkce je:

Pamatujeme si, že funkce, kterou zastupujeme, je a^Y= x, vidíme, že jak se mění hodnota 'y', mění se i hodnota 'x'. Zkontrolujme, zda je graf věrný rovnici. Vidíme, že když 'y' je nula, pak 'x' se rovná 1. Aplikování rovnice:

a^Y= 0 ⇒ e⁰=1

V matematice víme, že jakékoli číslo, když se zvýší na 0, povede k 1.

Aplikace ve financích a ekonomii

Ve financích se berou v úvahu pouze kladné reálné hodnoty, protože se obvykle používají k nepřetržitému výpočtu výnosů z uvedených cen finančních aktiv. Ceny jsou obvykle kladné, takže splňují omezení (x> 0), kde x je v tomto případě cena.

Nejčastější použití v ekonomii je v ekonometrických analýzách, kde jednoduché a / nebo vícenásobné regrese začleňují logaritmy do rovnic s cílem zajistit stabilitu regresorů, omezit atypická pozorování a mimo jiné vytvořit různé pohledy na odhad.

Důvodem, proč se v ekonometrii používají přirozené logaritmy, je nakonec usnadnění operací, které mají být provedeny. Logaritmy mají určité vlastnosti, které umožňují relativně rychle a snadno provádět složité matematické operace.