Přirozený logaritmus, ln (x), je inverzní funkcí exponenciální funkce a definováno v x pouze pro kladná reálná čísla.
Přirozeným logaritmem je intuitivně vyřešena následující rovnice:
aY= x
Kde by „y“ byl výsledek, který hledáme. To znamená, že pokud je x 20, kolik „y“ musí mít hodnotu, když ji zvýšíme na „e“, aby byla rovnice splněna. Například výsledek ln (20)
aY= 20 ⇒ y = 3
Vezmeme-li v úvahu, že číslo „e“ má hodnotu 2,7182818… ověříme, že pokud jej zvýšíme na 3, výsledek je skutečně 20,07. Je tomu tak, protože přirozený logaritmus 20 je ve skutečnosti 2,99. Ale v tomto příkladu jsme použili 3, abychom to usnadnili.
Doména přirozeného logaritmu
Matematicky je doménou přirozeného logaritmu:
(x ∈ ℜ: x> 0)
To znamená, že x musí být reálné číslo větší než nula. Jinak funkce neexistuje. Způsob, jak to zkontrolovat, je upřímně jednoduchý. Musíme to zkontrolovat pouze číslem, které je nula nebo méně. Například:
aY= 0 ⇒ y = Žádný výsledek
Neexistuje žádné číslo „y“, které by při zvýšení na „e“ vedlo k nule. Můžeme se dostat velmi blízko k nule, ale výsledek nikdy nebude nulový.
Přesnějším způsobem můžeme definici rozšířit nad pozitivní reálné oblasti na komplexní čísla. Pro jakékoli negativní reálné x bychom definovali, kde efektivně i odpovídá druhé odmocnině z (-1). Jedná se však o pokročilejší poznámku a není objektivní uvádět v tomto vysvětlení podrobnosti o komplexních číslech.
Grafické znázornění přirozeného logaritmu
Grafické znázornění této funkce je:
Pamatujeme si, že funkce, kterou zastupujeme, je aY= x, vidíme, že jak se mění hodnota 'y', mění se i hodnota 'x'. Zkontrolujme, zda je graf věrný rovnici. Vidíme, že když 'y' je nula, pak 'x' se rovná 1. Aplikování rovnice:
aY= 0 ⇒ e0=1
V matematice víme, že jakékoli číslo, když se zvýší na 0, povede k 1.
Aplikace ve financích a ekonomii
Ve financích se berou v úvahu pouze kladné reálné hodnoty, protože se obvykle používají k nepřetržitému výpočtu výnosů z uvedených cen finančních aktiv. Ceny jsou obvykle kladné, takže splňují omezení (x> 0), kde x je v tomto případě cena.
Nejčastější použití v ekonomii je v ekonometrických analýzách, kde jednoduché a / nebo vícenásobné regrese začleňují logaritmy do rovnic s cílem zajistit stabilitu regresorů, omezit atypická pozorování a mimo jiné vytvořit různé pohledy na odhad.
Důvodem, proč se v ekonometrii používají přirozené logaritmy, je nakonec usnadnění operací, které mají být provedeny. Logaritmy mají určité vlastnosti, které umožňují relativně rychle a snadno provádět složité matematické operace.