Vektory a vlastní čísla - co to je, definice a pojem

Vlastní vektory jsou vektory vynásobené vlastním číslem v lineárních transformacích matice. Vlastní čísla jsou konstanty, které násobí vlastní vektory v lineárních transformacích matice.

Jinými slovy, vlastní vektory překládají informace z původní matice do násobení hodnot a konstanty. Vlastní čísla jsou tato konstanta, která násobí vlastní vektory a podílí se na lineární transformaci původní matice.

Ačkoli jeho název ve španělštině je velmi popisný, v angličtině se vlastní vektory nazývají vlastní vektory a vlastní čísla, vlastní čísla.

Doporučené články: maticové typologie, inverzní matice, determinant matice.

Vlastní vektory

Vlastní vektory jsou sady prvků, které vynásobením jakékoli konstanty jsou ekvivalentní s násobením původní matice a sad prvků.

Matematicky vlastní vektorPROTI= (v₁,…, V_n) čtvercové maticeQ je libovolný vektorPROTI který splňuje následující výraz pro jakoukoli konstantuh:

QV = hV

Vlastní hodnoty

Konstanta h je vlastní hodnota, která patří do vlastního vektoru PROTI.

Vlastní čísla jsou skutečné kořeny (kořeny, které mají jako řešení reálná čísla), které najdeme prostřednictvím charakteristické rovnice.

Charakteristika vlastních čísel

• Každá vlastní hodnota má nekonečné vlastní vektory, protože existuje nekonečná reálná čísla, která mohou být součástí každého vlastního čísla.
• Jsou to skaláry, mohou to být komplexní čísla (ne reálná) a mohou být identická (více než jedna stejná vlastní hodnota).
• Existuje tolik vlastních čísel, kolik je řádků (m) nebo sloupce (n) má původní matici.

Vektory a vlastní čísla

Mezi vektory a vlastními hodnotami existuje vztah lineární závislosti, protože vlastní čísla znásobují vlastní vektory.

Matematicky

Pokud V je vlastní vektor maticeZ Y h je vlastní číslo matice Z, pakhV je lineární kombinace mezi vektory a vlastními hodnotami.

Charakteristická funkce

Charakteristická funkce se používá k nalezení vlastních čísel maticeZ náměstí.

Matematicky

(Z - hl) V = 0

Kde ZYh jsou definovány výše aJá je matice identity.

Podmínky

Chcete-li najít vektory a vlastní čísla matice, je nutné ji splnit:

• Matice Z čtverec: počet řádků (m) je stejný jako počet sloupců (n).
• Matice Z nemovitý. Většina matic používaných ve financích má skutečné kořeny. Jaká je výhoda při používání skutečných kořenů? Vlastní čísla matice nikdy nebudou složitá čísla, a to, přátelé, hodně řeší naše životy.
• Matice (Z- Ahoj) není invertibilní: determinant = 0. Tato podmínka nám pomáhá najít vždy vlastní vektory jiné než nula. Pokud bychom našli vlastní vektory rovné 0, pak by násobení mezi hodnotami a vlastními vektory bylo nulové.

Praktický příklad

Předpokládáme, že chceme najít vektory a vlastní hodnoty aZ 2 × 2 rozměrová matice:

1. Dosadíme matici Z YJá v charakteristické rovnici:

2. Opravujeme faktory:

3. Násobíme prvky, jako bychom hledali determinant matice.

4. Řešení této kvadratické rovnice je h = 2 a h = 5. Dvě vlastní čísla, protože počet řádků nebo sloupců v matici Z je 2. Takže jsme našli vlastní čísla matice Z což zase činí determinant 0.

5. Abychom našli vlastní vektory, budeme muset vyřešit:

6. Například (v₁, v₂) = (1,1) pro h = 2 a (v₁, v₂) = (- 1,2) pro h = 5: