Vlastní vektory jsou vektory vynásobené vlastním číslem v lineárních transformacích matice. Vlastní čísla jsou konstanty, které násobí vlastní vektory v lineárních transformacích matice.
Jinými slovy, vlastní vektory překládají informace z původní matice do násobení hodnot a konstanty. Vlastní čísla jsou tato konstanta, která násobí vlastní vektory a podílí se na lineární transformaci původní matice.
Ačkoli jeho název ve španělštině je velmi popisný, v angličtině se vlastní vektory nazývají vlastní vektory a vlastní čísla, vlastní čísla.
Doporučené články: maticové typologie, inverzní matice, determinant matice.
Vlastní vektory
Vlastní vektory jsou sady prvků, které vynásobením jakékoli konstanty jsou ekvivalentní s násobením původní matice a sad prvků.
Matematicky vlastní vektorPROTI= (v1,…, Vn) čtvercové maticeQ je libovolný vektorPROTI který splňuje následující výraz pro jakoukoli konstantuh:
QV = hV
Vlastní hodnoty
Konstanta h je vlastní hodnota, která patří do vlastního vektoru PROTI.
Vlastní čísla jsou skutečné kořeny (kořeny, které mají jako řešení reálná čísla), které najdeme prostřednictvím charakteristické rovnice.
Charakteristika vlastních čísel
- Každá vlastní hodnota má nekonečné vlastní vektory, protože existuje nekonečná reálná čísla, která mohou být součástí každého vlastního čísla.
- Jsou to skaláry, mohou to být komplexní čísla (ne reálná) a mohou být identická (více než jedna stejná vlastní hodnota).
- Existuje tolik vlastních čísel, kolik je řádků (m) nebo sloupce (n) má původní matici.
Vektory a vlastní čísla
Mezi vektory a vlastními hodnotami existuje vztah lineární závislosti, protože vlastní čísla znásobují vlastní vektory.
Matematicky
Pokud V je vlastní vektor maticeZ Y h je vlastní číslo matice Z, pakhV je lineární kombinace mezi vektory a vlastními hodnotami.
Charakteristická funkce
Charakteristická funkce se používá k nalezení vlastních čísel maticeZ náměstí.
Matematicky
(Z - hl) V = 0
Kde ZYh jsou definovány výše aJá je matice identity.
Podmínky
Chcete-li najít vektory a vlastní čísla matice, je nutné ji splnit:
- Matice Z čtverec: počet řádků (m) je stejný jako počet sloupců (n).
- Matice Z nemovitý. Většina matic používaných ve financích má skutečné kořeny. Jaká je výhoda při používání skutečných kořenů? Vlastní čísla matice nikdy nebudou složitá čísla, a to, přátelé, hodně řeší naše životy.
- Matice (Z- Ahoj) není invertibilní: determinant = 0. Tato podmínka nám pomáhá najít vždy vlastní vektory jiné než nula. Pokud bychom našli vlastní vektory rovné 0, pak by násobení mezi hodnotami a vlastními vektory bylo nulové.
Praktický příklad
Předpokládáme, že chceme najít vektory a vlastní hodnoty aZ 2 × 2 rozměrová matice:
1. Dosadíme matici Z YJá v charakteristické rovnici:
2. Opravujeme faktory:
3. Násobíme prvky, jako bychom hledali determinant matice.
4. Řešení této kvadratické rovnice je h = 2 a h = 5. Dvě vlastní čísla, protože počet řádků nebo sloupců v matici Z je 2. Takže jsme našli vlastní čísla matice Z což zase činí determinant 0.
5. Abychom našli vlastní vektory, budeme muset vyřešit:
6. Například (v1, v2) = (1,1) pro h = 2 a (v1, v2) = (- 1,2) pro h = 5:
