Thalesova věta je zákon geometrie, který nám říká, že pokud je čára nakreslena rovnoběžně s oběma stranami trojúhelníku, budeme mít trojúhelník podobný původnímu trojúhelníku.
Jinými slovy, pokud vyřízneme trojúhelník nakreslením čáry rovnoběžné s jednou z jeho stran, získáme trojúhelník podobný té již existující.
V tomto bodě je třeba poznamenat, že dva trojúhelníky jsou podobné, když jsou jejich odpovídající úhly shodné (měří stejné) a jejich homologní strany jsou navzájem úměrné.
Abychom tomu lépe porozuměli, podívejme se na následující obrázek:
Podle Thalesovy věty lze usoudit, že α = δ a β = ε
Kromě toho, jak jsme již zmínili dříve, jsou strany proporcionální, takže je pravda, že:
Anekdota spojená s historikem Plútarchosem říká, že Thales z Milétu při jedné ze svých cest využil této věty ke zjištění výšky pyramid v Gíze (pyramid Cheops, Khafre a Menkaure) v Egyptě. Rozhodl se tedy postavit hůl svisle proti zemi a čekat, až se délka objektu bude rovnat stínu, který vrhl. V té době by se stín pyramidy rovnal také její výšce. V tomto případě jsou podobné trojúhelníky:
- Ten, jehož dvě strany jsou tyč a její stín.
- Trojúhelník, který má na jedné straně výšku pyramidy a na druhé straně svůj stín.
Abychom to lépe pochopili, představme si na obrázku výše, že pyramida je ta, kterou tvoří vrcholy D, E a F, její výška je segment HE a její stín, IE. Mezitím je prutem segment AB a jeho stín, CB. Proto AB / CB = HE / IE. To s přihlédnutím k tomu, že sluneční paprsky jsou rovnoběžné (neprotínají se nebo se prodlužují), takže budou s tyčí svírat stejný úhel jako s pyramidou (úhly α a β jsou stejné).
Příklad Thalesovy věty
Abychom lépe porozuměli Thalesově teorému, podívejme se na následující obrázek:
Pokud BC měří 7,3 metru, DE měří 3,6 metru a AB měří 6,2 metru. Jaká je délka AD?
Izolujeme výše uvedený vzorec a máme:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2,0278 = 6,2 / AD
AD = 3,0575 metrů
Rozšíření Thalesovy věty
Thalesovu větu lze rozšířit na analýzu jakýchkoli dvou linií, které jsou řezány dalšími liniemi rovnoběžnými navzájem, jak vidíme na následujícím obrázku:
Pak je pravda, že:
To je pravda, protože tyto čáry musíme považovat za součást trojúhelníku, nebo, vidíme-li to jinak, prodloužíme-li čáry AB a CD, protnou se. Lepší je to vidět na následujícím obrázku:
Thalesova druhá věta
Existuje také druhá Thalesova věta, podle které, pokud máme trojúhelník tvořený průměrem obvodu a dvěma přímkami, které jej protínají (proříznou postavu ve dvou bodech), je úhel, který je opačný k průměru, pravý, tj. „, měří 90 °.
Je třeba si uvědomit, že průměr je ten segment, který prochází středem obvodu a spojuje dva protilehlé body uvedeného obrázku.
Výše uvedené můžeme vidět lépe na následujícím obrázku:
Můžeme ověřit tuto větu s přihlédnutím k tomu, že AC, AD a AB měří stejně a jsou stejné jako poloměr obvodu (poloměr je libovolný segment, který spojuje bod na obvodu se středem obrázku a je roven polovině průměr). Takže trojúhelníky ABC a ABD jsou rovnoramenné a jejich dvě strany, které jsou podobné, jsou opačné úhly, které také měří stejné, to znamená:
AC = AD = AB = r (poloměr obvodu)
γ = β a α = δ
Pak, když vidíme trojúhelník CBD a pamatujeme si, že vnitřní úhly trojúhelníku musí přidat až 180 °, máme:
γ + β + α + δ = 180 °
2β + 2α = 180 °
2 (α + β) = 180 °
α + β = 90 °
Proto je trojúhelník CBD pravým trojúhelníkem.