Průsečík událostí je operace, jejíž výsledek se skládá z neopakujících se a běžných událostí dvou nebo více množin.
Jednoduše řečeno, vzhledem ke dvěma událostem A a B řekneme, že jejich průnik je tvořen elementárními událostmi, které mají společné. Mohli bychom také naznačit, že z průniku událostí vyplývá odpověď na otázku: Jaká je pravděpodobnost, že A a B nastanou současně?
Symbol, kterým je křižovatka označena, je následující: ∩. Je to jako obrácený U. Pokud tedy chceme označit průnik A a B, dali bychom: A ∩ B
Zobecnění průniku událostí
Ve vysvětlení jsme zatím viděli průnik dvou událostí. Například A ∩ B nebo B ∩ A. Co se stane, když máme více než dvě události?
Zobecnění průsečíku událostí nám dává řešení pro označení průsečíku například 50 událostí. Předpokládejme, že máme 7 událostí, použijeme následující zápis:
Místo volání každé události A, B nebo jakéhokoli písmene budeme volat Ano. S je událost a dolní index i označuje číslo. Tímto způsobem budeme mít v příkladu 7 událostí následující vzorec:
To, co jsme udělali, je vytvořit notaci. Je to jen proto, abyste viděli, co to znamená, ale pouze tím, že postavíte to, co je před sebe, budete vědět, co tento vývoj znamená. Ve výše uvedeném případě bychom intuitivně řekli „S1 a S2 a S3 a S4 a S5 a S6 a S7“. To znamená, že by šlo o společné prvky, které má 7 událostí.
Křižovatka nesouvislých a nedisjunktních událostí
Průsečík nesouvislých událostí jednoduše nemůže existovat. Je zřejmé, že pokud jsou dvě události nesouvislé, řekneme, že nemají společné žádné prvky. A pokud nemají společné žádné prvky, výsledkem je prázdná množina nebo nemožná událost.
V případě nesouvislých událostí budou výsledkem křižovatky společné prvky. Podívejme se na příklad, proč nemůže existovat průnik nesouvislých událostí:
Předpokládejme, že máme ukázkový prostor složený z (1,2,3,4,5,6), kde:
Odpověď: Nechte 1 nebo 2 přijít (1,2)
B: To vyjde větší nebo rovné 5 (5,6)
A ∩ B = Ø
Neexistuje žádná křižovatka. Je to nemožná událost. K tomu dochází, protože události jsou nesouvislé. To znamená, že nemají žádné společné prvky.
Průsečík nedisjunktních událostí se vypočítá jako:
Vlastnosti průniku událostí
Spojení událostí je druh matematické operace. Některé typy operací jsou také sčítání, odčítání, násobení. Každý z nich má řadu vlastností. Například víme, že výsledek přidání 3 + 4 je přesně stejný jako výsledek přidání 4 +3. V tomto okamžiku má sjednocení události několik vlastností, které stojí za to znát:
- Komutativní: To znamená, že pořadí, ve kterém je napsáno, nemění výsledek. Například:
- A ∩ B = B ∩ A
- C ∩ D = D ∩ C
- Asociativní: Za předpokladu, že existují tři události, je nám jedno, která z nich má udělat jako první a která další. Například:
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- Distribuční: Když zahrneme typ operace křižovatky, distribuční vlastnost zůstane. Stačí se podívat na následující příklad:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Při pohledu na tyto vlastnosti můžeme snadno zjistit, jak jsou přesně stejné jako v případě sjednocení události.
Příklad křižovatky událostí
Jednoduchý příklad spojení dvou událostí A a B by byl následující. Předpokládejme, že se jedná o losování dokonalé kostky. Kostka, která má šest tváří očíslovaných od 1 do 6. Takovým způsobem, že události jsou definovány níže:
NA: Že je větší než 2. (3,4,5,6) v pravděpodobnosti je 4/6 => P (A) = 0,67
C: Nechte pět vyjít. (5) v pravděpodobnosti je 1/6 => P (C) = 0,17
Jaká je pravděpodobnost A ∩ C?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Protože P (A) a P (C) ji již mají, budeme počítat P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) v pravděpodobnostech P (A U C) = 4/6 = 0,67
Konečným výsledkem je:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
Pravděpodobnost, že vyjde větší než 2 a zároveň, že vyjde pět, je 17%.