Variance-kovarianční matice - co to je, definice a koncept
Variačně-kovarianční matice je čtvercová matice dimenze nxm, která shromažďuje odchylky v hlavní úhlopříčce a kovariance v prvcích mimo hlavní úhlopříčku.
Jinými slovy, variance-kovarianční matice je matice, která má stejný počet řádků a sloupců a má rozptyly distribuované na hlavní úhlopříčce a kovariance na prvcích mimo hlavní úhlopříčku.
KovarianceMaticová reprezentace
Variačně-kovarianční matice je obvykle vyjádřena jako
Ačkoli se zdá, že je to symbol součtu a že nemá žádný vztah k matici variance-kovarianční matice, toto řecké písmeno dokonale představuje obsah této matice.
Abychom tomu porozuměli, podívejme se nejprve na jeho výraz:
S vědomím, že existuje m sloupce, elipsa označuje, že sloupce mezi druhým a posledním sloupcem byly vynechány. Podobně s vědomím, že existuje n řádky, elipsa označuje, že řádky mezi druhým a posledním řádkem byly vynechány.
V tomto případě použijeme sigmu k reprezentaci kovariancí a sigma na druhou pro odchylky. Jako příklad:
Jaké řecké písmeno se objevuje ve všech prvcích matice? Sigma.
Je tedy logické, že k definování variance-kovarianční matice se také používá sigma.
Řecký dopis
je kapitálová forma
Takže pokud si pamatujeme, že matice variance-kovarianční matice je vyjádřena jako velká písmena sigmy, bude snazší si zapamatovat její definici.
Požadavky na to, aby to byla variančně-kovarianční matice
Požadavky, aby matice byla variance-kovariance, jsou následující:
- Čtvercová matice: stejný počet řádků (n) jako sloupce (m), potom n = m, a proto lze rozměr této matice vyjádřit jak nxm, tak nxn.
- V hlavní úhlopříčka existují odchylky:
- Mimo hlavní úhlopříčku existují kovariance:
Aplikace
Varianta-kovarianční matice je v ekonometrii velmi oblíbená, protože se mimo jiné používá hlavně při maticovém výpočtu koeficientů lineární regrese za použití Obyčejných nejmenších čtverců.
Ve financích se používá k získání obecného obrazu o volatilitě finančních aktiv.
Matematické vyjádření rozptylu a kovariance
Matematika je vyjádřena takto:
- Kovariance prvku n = 1 am = 2
- Rozptyl prvku n = 1 am = 1
Lze opravit jak rozptyl, tak kovarianci. To znamená, že jmenovatel je n-1 místo n. To je způsobeno stupni volnosti a záleží na tom, zda mluvíme o populačních nebo vzorových odchylkách a kovariancích.
