Poissonovo rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, které modeluje frekvenci určitých událostí během pevného časového intervalu na základě průměrné frekvence výskytu těchto událostí.
Jinými slovy, Poissonovo rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, že pouze díky znalosti událostí a jejich průměrné četnosti výskytu můžeme znát jejich pravděpodobnost.
Poissonův distribuční výraz
Vzhledem k diskrétní náhodné proměnné X říkáme, že její frekvenci lze uspokojivě přiblížit Poissonovu distribuci, takže:
Na rozdíl od normálního rozdělení závisí Poissonovo rozdělení pouze na jednom parametru mu (označeném žlutě).
Mu hlásí očekávaný počet událostí, které nastanou v nastaveném časovém intervalu. Když mluvíme o něčem „očekávaném“, musíme to přesměrovat, abychom mysleli na průměr. Mu je tedy průměrem frekvence událostí.
Průměr i rozptyl tohoto rozdělení jsou velmi přísně pozitivní.
Zastoupení
Vzhledem k Poissonově rozdělení s průměrem 2 je rozdělení pravděpodobnosti hustoty následující:
Funkce je definována pouze na celočíselných hodnotách x.
Ne všechna rozdělení pravděpodobnosti Poissonovy hustoty budou vypadat stejně, i když ponecháme vzorek stejný. Změníme-li průměr, tj. Parametr, na kterém funkce závisí, změní se také funkce.
Funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf)
Tato funkce se chápe jako pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabere určitou hodnotu x. Je to exponenciál záporného průměru vynásobený průměrem zvýšeným k pozorování a vše děleno faktoriálem pozorování.
Jak již bylo uvedeno, abychom poznali pravděpodobnost každého pozorování, budeme muset ve funkci nahradit všechna pozorování. Jinými slovy, x je vektor dimenze n, který obsahuje všechna pozorování náhodné proměnné X. Střední by byl také vektor, ale jedné dimenze, takový, že:
Jakmile máme vypočtené pravděpodobnosti, můžeme spolu s pozorováními nakreslit rozdělení hustoty pravděpodobnosti.
Příběh
Název této distribuce pochází od jejího tvůrce, francouzského matematika a filozofa Siméon-Denise Poissona (1781-1840), který chtěl modelovat frekvenci událostí v pevném časovém intervalu. Podílel se také na zdokonalování zákona velkého počtu.
Aplikace
Poissonovo rozdělení se používá v oblasti operačního rizika za účelem modelování situací, ve kterých dojde k provozní ztrátě. V tržním riziku se Poissonův proces používá pro čekací doby mezi finančními transakcemi ve vysokofrekvenčních databázích. Při modelování počtu bankrotů se zohledňuje také kreditní riziko.
Příklad
Předpokládáme, že jsme v zimní sezóně a chceme jít lyžovat do prosince. Pravděpodobnost, že se lyžařská střediska otevřou do prosince, je 5%. Ze 100 lyžařských středisek chceme znát pravděpodobnost, že nejbližší lyžařské středisko bude otevřeno do prosince. Hodnocení tohoto lyžařského střediska je 6 bodů.
Vstupy potřebné k výpočtu funkce pravděpodobnosti Poissonovy hustoty jsou datová sada a mu:
- Soubor dat = 100 lyžařských středisek.
- Mu = 5% * 100 = 5 je očekávaný počet lyžařských středisek vzhledem k datové sadě.
Takže nejbližší stanice má 14,62% šanci, že se otevře do prosince.
Pravděpodobnost frekvence