Symetrická matice je matice řádu n se stejným počtem řádků a sloupců, kde se její transponovaná matice rovná původní matici.
Jinými slovy, symetrická matice je čtvercová matice a je identická s maticí po výměně řádků za sloupce a sloupců za řádky.
Požadavky
Aby každá matice byla symetrická matice, musí splňovat následující omezení:
Vzhledem k symetrické matici P řádu n,
- Být a čtvercová matice.
Počet řádků (n) musí být stejný jako počet sloupců (m). To znamená, že pořadí matice musí být n vzhledem k tomu, že n = m.
- Původní matice musí být stejná jako její transponovaná matice.
Demonstrace:
Vlastnosti
- Adjungovaná matice symetrické matice je také symetrická matice.
Demonstrace:
- Sčítání nebo odčítání dvou symetrických matic vede k další symetrické matici.
Demonstrace:
Vzhledem k tomu, dvě symetrické matice P Y T řádu 3 získáme další symetrickou matici S ze součtu.
Proč se tomu říká symetrická matice?
Vlastnost symetrie je dána prvky kolem hlavní úhlopříčky. Protože čtvercová matice je symetrická matice, bude mít vždy stejný počet prvků nad a pod hlavní úhlopříčkou. Tyto prvky jsou stejné symetricky. To znamená, že hlavní úhlopříčka funguje jako zrcadlo.
Důkaz symetrie a šikmosti matice
Symetrická matice
Dopis d představuje prvky hlavní úhlopříčky. Ostatní písmena představují jakékoli skutečné číslo. Vidíme, že hlavní úhlopříčka funguje jako zrcadlo: odráží prvky na obou stranách. Jinými slovy, když jsou prvky na obou stranách úhlopříčky symetricky stejné, říkáme, že matice P je symetrická matice.
Nesymetrická matice
Matice X Není to symetrická matice, protože to není čtvercová matice a její transponovaná matice se liší od původní matice. Kromě toho také nemá hlavní úhlopříčku.
Matice identity