Symetrická matice - co to je, definice a pojem

Symetrická matice je matice řádu n se stejným počtem řádků a sloupců, kde se její transponovaná matice rovná původní matici.

Jinými slovy, symetrická matice je čtvercová matice a je identická s maticí po výměně řádků za sloupce a sloupců za řádky.

Požadavky

Aby každá matice byla symetrická matice, musí splňovat následující omezení:

Vzhledem k symetrické matici P řádu n,

• Být a čtvercová matice.

Počet řádků (n) musí být stejný jako počet sloupců (m). To znamená, že pořadí matice musí být n vzhledem k tomu, že n = m.

• Původní matice musí být stejná jako její transponovaná matice.

Demonstrace:

Vlastnosti

• Adjungovaná matice symetrické matice je také symetrická matice.

Demonstrace:

• Sčítání nebo odčítání dvou symetrických matic vede k další symetrické matici.

Demonstrace:

Vzhledem k tomu, dvě symetrické matice P Y T řádu 3 získáme další symetrickou matici S ze součtu.

Proč se tomu říká symetrická matice?

Vlastnost symetrie je dána prvky kolem hlavní úhlopříčky. Protože čtvercová matice je symetrická matice, bude mít vždy stejný počet prvků nad a pod hlavní úhlopříčkou. Tyto prvky jsou stejné symetricky. To znamená, že hlavní úhlopříčka funguje jako zrcadlo.

Důkaz symetrie a šikmosti matice

Symetrická matice

Dopis d představuje prvky hlavní úhlopříčky. Ostatní písmena představují jakékoli skutečné číslo. Vidíme, že hlavní úhlopříčka funguje jako zrcadlo: odráží prvky na obou stranách. Jinými slovy, když jsou prvky na obou stranách úhlopříčky symetricky stejné, říkáme, že matice P je symetrická matice.

Nesymetrická matice

Matice X Není to symetrická matice, protože to není čtvercová matice a její transponovaná matice se liší od původní matice. Kromě toho také nemá hlavní úhlopříčku.