Kužel je trojrozměrný geometrický útvar, který je tvořen otáčením pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z jeho nohou.
Kužel je pak geometrické těleso s kruhovou základnou, která je připojena k vnějšímu bodu zvanému vrchol.
Je třeba poznamenat, že kužel je tělem revoluce. To znamená, že jej získáte otočením postavy nebo plochého povrchu kolem osy. Tyto typy postav se vyznačují tím, že nemají ploché plochy, například mnohoúhelník, ale zakřivený povrch. Některé další příklady jsou válec a koule.
Je třeba objasnit, že v tomto článku podrobně rozvedeme vlastnosti kužele, kde je vrchol kolmý k základně (tvoří pravý úhel nebo 90 °). Existují však šikmé kužely, ty, kde tato podmínka není splněna a postava je nakloněna.
Prvky kužele
Prvky kužele, které nás vedou z obrázku níže, jsou následující:
- Osa: Je to imaginární čára, na které je noha umístěna, kolem které se otáčí pravý trojúhelník, který tvoří kužel.
- Základna: Je to kruh, na kterém je vytvořeno tělo kužele. Jeho poloměr (r) je segment AC.
- Směrnice: Je to obvod základny kužele.
- Generatrix (segment BC délky L): Je to přímka, která spojuje vrchol s jakýmkoli bodem v directrix. To znamená jakýkoli segment, který spojuje vrchol s obrysem základny. Rovněž je to přepona pravého trojúhelníku, která se otáčí za vzniku kužele.
- Vrchol kužele (bod B): Vnější bod je directrix, kde se shodují všechny generatrice čísla. Je to vrchol geometrického těla.
- Výška (segment AB délky h): Je to kolmý segment, který spojuje vrchol a základnu. Shoduje se s nohou, kolem které se trojúhelník otáčí a vytváří kužel.
Plocha a objem kužele
Abychom lépe porozuměli charakteristikám kužele, můžeme vypočítat následující měření:
- Plocha: Abychom našli oblast kužele, musíme přidat plochu základny (Ab) plus oblast těla postavy nebo boční plocha (AL)
Plocha základny se vypočítá, jak je vysvětleno v článku o obvodu, vynásobením π poloměrem obvodu na druhou.
Podobně se boční plocha vypočítá vynásobením π poloměrem základny a délkou generatrixu (L).
Můžeme tedy najít celkovou plochu obrázku:
Musíme také vzít v úvahu, že generatrix je přepona pravoúhlého trojúhelníku, který tvoří společně s poloměrem základny a výškou kužele, přičemž poslední dvě jsou nohy. Proto lze použít Pythagorovu větu:
- Objem: Objem kužele se vypočítá vynásobením 1/3 poloměrem čtverce základny, π a výškou kužele.
Příklad kužele
Předpokládejme, že máme kužel, jehož základna má poloměr 12 metrů a výška postavy je 14 metrů. Jaká je plocha a objem kužele?
Nejprve vyřešíme délku generatrixu (L) pomocí Pythagorovy věty, jak je vysvětleno výše:
Poté zapojíme L do vzorce plochy, abychom našli oblast kužele:
Nakonec najdeme svazek:
