Choleský rozklad je speciální druh rozkladu matice LU z angličtiny Lower-Upper, který spočívá v rozložení matice na produkt dvou nebo více matic.
Jinými slovy, Choleský rozklad spočívá v rovnici matice obsahující stejný počet řádků a sloupců (čtvercová matice) s maticí s nulami nad hlavní úhlopříčkou vynásobenou maticí transponovanou nulami pod hlavní úhlopříčkou.
LU rozklad, na rozdíl od Choleského, lze použít na různé typy čtvercových matic.
Choleského vlastnosti rozkladu
Choleský rozklad se skládá z:
- Horní trojúhelníková čtvercová matice: Čtvercová matice, která má pod hlavní úhlopříčkou pouze nuly.
- Dolní trojúhelníková čtvercová matice: Matice, která má nad hlavní úhlopříčkou pouze nuly.
Matematicky, pokud existuje pozitivní určitá symetrická matice, A, pak existuje spodní trojúhelníková symetrická matice, K, stejné dimenze jako A, což má za následek:
Výše uvedená matice se jeví jako Choleského matice E. Tato matice funguje jako druhá odmocnina matice E. Víme, že doména druhé odmocniny je:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Který je definován ve všech nezáporných reálných číslech. Stejně jako druhá odmocnina bude Choleskyho matice existovat pouze v případě, že je matice semi-pozitivní definitivní. Matice je definována jako polopozitivní, když hlavní nezletilí mají pozitivní nebo nulový determinant.
Choleský rozklad A je diagonální matice taková, že:
Vidíme, že matice jsou čtvercové a obsahují uvedené vlastnosti; trojúhelník nul nad hlavní úhlopříčkou v první matici a trojúhelník nul pod hlavní úhlopříčkou v transformované matici.
Choleský rozklad aplikací
Ve financích se používá k transformaci realizací nezávislých normálních proměnných na normální proměnné korelované podle korelační matice A.
Pokud N je vektor nezávislých normálů (0,1), vyplývá z toho, že Ñ je vektor Normálů (0,1) korelovaný podle A.
Příklad Choleského rozkladu
Toto je nejjednodušší příklad Choleského rozkladu, protože matice musí být čtvercové, v tomto případě je matice (2 × 2). Dva řádky po dvou sloupcích. Kromě toho splňuje vlastnosti nuly nad a pod hlavní úhlopříčkou. Tato matice je částečně pozitivní, protože hlavní nezletilí mají pozitivní determinant. Definujeme:
Řešení pro: c2 = 4; b · c = -2; na2+ b2 = 5; máme čtyři možné Cholesky matice:
Nakonec spočítáme, abychom našli (a, b, c). Jakmile je najdeme, budeme mít Cholesky matice. Výpočet je následující:
