Maticová kvadratická forma je produktem násobení vektoru řádu n jakoukoli čtvercovou maticí vektorem řádu n transponovaným.
Jinými slovy je maticový kvadratický tvar lineární kombinací čtvercové matice, vektoru řádu n a transpozice tohoto vektoru.
Doporučený článek: operace s maticemi.
Maticový vzorec kvadratické formy
Vzhledem k čtvercové matici Z řádu n a vektoru h rozměrů n můžeme napsat výraz zvaný kvadratická forma tvaru:
Výsledkem kvadratické formy bude vždy skalár, tj. Jedno číslo, nikoli matice.
Aplikace
Maticová kvadratická forma slouží k nalezení stupně pozitivity a negativity definovaných matic. V závislosti na hodnotách vektoru h bude hodnota kvadratické formy nulová (0), kladná nebo záporná.
Jakmile jsme získali kvadratickou formu, můžeme říci, že jsme „definovali“ matici. Můžeme tedy mluvit o určité matici. Tato matice může být pozitivní určitá, pozitivní polořadová, záporná určitá a záporná polořadová.
Praktický příklad
Nalezení kvadratické formy čtvercové matice Z daný vektor h:
Proces
Nejprve transponujeme vektor h.
Poté použijeme vzorec kvadratické formy.
Jak jsme již řekli, výsledkem kvadratické formy bude vždy jedno číslo. V tomto případě se jedná o přísně kladné číslo.
Ale … Jak je možné, že výsledkem je konkrétní číslo a ne matice, pokud vynásobíme matice?
Ke zmenšení dimenze matice z násobení dochází, protože vynásobíme matice, které sdílejí stejný počet sloupců a řádků.
Demonstrace:
Z maticového produktu Z a z transponovaného vektoru h zůstává vektor o rozměru 3 × 1. Stejným způsobem zůstává součin výsledného vektoru a vektoru h matice dimenze 1 × 1. Matice dimenze 1 × 1 je skalární.
Pokud tedy spočítáme kvadratickou formu matice a získáme matici s rozměrem větším než 1 × 1 (získáme jiný výsledek než konkrétní číslo), bude to znamenat, že jsme v nějakém kroku udělali chybu a že výsledek je špatný.