Maticová kvadratická forma - co to je, definice a koncept

Maticová kvadratická forma je produktem násobení vektoru řádu n jakoukoli čtvercovou maticí vektorem řádu n transponovaným.

Jinými slovy je maticový kvadratický tvar lineární kombinací čtvercové matice, vektoru řádu n a transpozice tohoto vektoru.

Doporučený článek: operace s maticemi.

Maticový vzorec kvadratické formy

Vzhledem k čtvercové matici Z řádu n a vektoru h rozměrů n můžeme napsat výraz zvaný kvadratická forma tvaru:

Výsledkem kvadratické formy bude vždy skalár, tj. Jedno číslo, nikoli matice.

Aplikace

Maticová kvadratická forma slouží k nalezení stupně pozitivity a negativity definovaných matic. V závislosti na hodnotách vektoru h bude hodnota kvadratické formy nulová (0), kladná nebo záporná.

Jakmile jsme získali kvadratickou formu, můžeme říci, že jsme „definovali“ matici. Můžeme tedy mluvit o určité matici. Tato matice může být pozitivní určitá, pozitivní polořadová, záporná určitá a záporná polořadová.

Praktický příklad

Nalezení kvadratické formy čtvercové matice Z daný vektor h:

Proces

Nejprve transponujeme vektor h.

Poté použijeme vzorec kvadratické formy.

Jak jsme již řekli, výsledkem kvadratické formy bude vždy jedno číslo. V tomto případě se jedná o přísně kladné číslo.

Ale … Jak je možné, že výsledkem je konkrétní číslo a ne matice, pokud vynásobíme matice?

Ke zmenšení dimenze matice z násobení dochází, protože vynásobíme matice, které sdílejí stejný počet sloupců a řádků.

Demonstrace:

Z maticového produktu Z a z transponovaného vektoru h zůstává vektor o rozměru 3 × 1. Stejným způsobem zůstává součin výsledného vektoru a vektoru h matice dimenze 1 × 1. Matice dimenze 1 × 1 je skalární.

Pokud tedy spočítáme kvadratickou formu matice a získáme matici s rozměrem větším než 1 × 1 (získáme jiný výsledek než konkrétní číslo), bude to znamenat, že jsme v nějakém kroku udělali chybu a že výsledek je špatný.