Model ARMA je stacionární autoregresní model, kde nezávislé proměnné sledují stochastické trendy a chybový člen je stacionární.
Jinými slovy, model ARMA zahrnuje do své regrese autokorelaci a model klouzavého průměru.
Doporučené články: teorie náhodných procházek, podmíněný průměr, autoregrese.
Význam ARMA
Model ARMA, z angličtiny, AutoRegresivní klouzavý průměr je rozdělena do dvou částí:
- Autoregresní: Závislá proměnná se vrací za určitou dobut.
- Klouzavý průměr: Překážky představují náhodné procesy.
AR model
Matematicky
1. Vycházíme z autoregresního modelu AR (p):
Kde:
Jinými slovy, chybový termín sleduje stochastický proces (náhodná proměnná).
2. Stanovujeme následující rovnost:
4. Dosadíme dosavadní rovnost do AR (p) a získáme:
4. Definujeme nový polynom, který závisí na R:
Pak,
Vynásobíme-li nový polynom Xt a předáme všechny parametry a regresory nalevo od rovnice, získáme počáteční AR (p).
Z autoregresního modelu nám zbývá poslední rovnice:
Jedná se o příspěvek autoregresního modelu k modelu ARMA.
Model klouzavého průměru
Model s klouzavým průměrem je autoregrese, kde jsou regresory chybovými podmínkami každého obdobít.
Matematicky
1. Vycházíme z autoregresního modelu AR (p), kde jsou regresory chybovým výrazem:
Stejně jako autoregresní model následuje chybový termín po stochastickém procesu (náhodná proměnná), který:
Model klouzavého průměru je vždy stacionární, to znamená, že nezávislé proměnné (zpožděné chybové výrazy) jsou náhodné proměnné. Jinými slovy, chybové podmínky předchozího období jsou nezávislé na aktuálních chybových podmínkách a mají stejné (identické) rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0 a podmíněnou odchylkou.
2. Stanovujeme následující rovnost:
3. Dosadíme předchozí rovnost v AR (p) chybového členu a získáme:
4. Definujeme nový polynom, který závisí na E:
Bereme společný faktor:
Z modelu klouzavého průměru nám zbývá rovnice bodu 4:
Model ARMA (p, q)
Matematicky
Obecný autoregresní model časové řady s klouzavým průměremp autoregresní termíny aco Klouzavý průměr pojmy jsou vyjádřeny jako:
Nepanikařte! Můžeme něco zjednodušit?
Vždy můžete věci zjednodušit. Pamatujeme si rovnice, které jsme dříve zdůraznili:
Autoregresní model
Model s klouzavým průměrem
Vidíme tedy, že model ARMA je jednoduše kombinací autoregresního modelu a modelu klouzavého průměru (označeného žlutě).