Vlastnosti očekávaných hodnot

Očekávanou hodnotou náhodné proměnné je koncept analogický matematické algebře, který uvažuje o aritmetickém průměru množiny pozorování uvedené proměnné.

Jinými slovy, očekávaná hodnota náhodné proměnné je hodnota, která se objevuje nejčastěji během opakování experimentu mnohokrát.

Vlastnosti očekávaných hodnot náhodné proměnné

Očekávaná hodnota náhodné proměnné má tři vlastnosti, které vyvíjíme níže:

Majetek 1

Pro každou konstantu g bude očekávaná hodnota této konstanty vyjádřena jako E (g) a bude stejnou konstantou g. Matematicky:

E (g) = g

Protože g je konstanta, to znamená, že nezávisí na žádné proměnné, její hodnota zůstane stejná.

Příklad

Jaká je očekávaná hodnota 1? Jinými slovy, jakou hodnotu přiřadíme číslu 1?

E (1) =?

Přesně přiřadíme hodnotu 1 číslu 1 a její hodnota se nezmění bez ohledu na to, jak roky uběhnou nebo dojde k přírodním katastrofám. Máme tedy co do činění s konstantní proměnnou, a proto:

E (1) = 1 nebo E (g) = g

Mohou zkusit jiná čísla.

Nemovitost 2

Pro jakoukoli konstantu h a k se očekávaná hodnota přímky h · X + k bude rovnat konstantě h vynásobené očekáváním náhodné proměnné X plus konstantou k. Matematicky:

E (h X + k) = h E (X) + k

Podívejte se pozorně, nepřipomíná vám to velmi slavnou postupku? Přesně řečeno, regresní čára.

Pokud nahradíme:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Mít:

Y = B₀ + B₁X

Když se odhadnou koeficienty B.₀ , B₁ , tj. B₀ , B.₁ , zůstávají stejné pro celý vzorek. Aplikujeme tedy vlastnost 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Zde také najdeme vlastnost nestrannosti, to znamená, že očekávaná hodnota odhadce se rovná jeho populační hodnotě.

Vrátíme-li se k E (h · X + k) = h · E (X) + k, je důležité mít na paměti, že Y je E (h · X + k) při vyvozování závěrů z regresních čar. Jinými slovy by se dalo říci, že když se X zvýší o jednu, Y se zvýší o polovina h jednotky, protože Y je očekávaná hodnota přímky h · X + k.

Nemovitost 3

Pokud H je vektor konstant a X je vektor náhodných proměnných, pak lze očekávanou hodnotu vyjádřit jako součet očekávaných hodnot.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_n)

Ahoj₁X₁ + h₂X₂ + … + H_nX_n) = h₁·BÝVALÝ₁) + h₂·BÝVALÝ₂) +… + H_n·BÝVALÝ_n)

Vyjádřeno součty:

Tato vlastnost je velmi užitečná pro derivace v oblasti matematické statistiky.