Black-Scholesův model je vzorec používaný k ocenění ceny finanční opce. Tento vzorec je založen na teorii stochastických procesů.
Model Black-Scholes vděčí za své jméno dvěma matematikům, kteří jej vyvinuli, Fisherovi Blackovi a Myronovi Scholesovi. Black-Scholes byl původně používán k oceňování nedividendových opcí. Nebo co je stejné, pokusit se vypočítat, jaká by měla být „férová“ cena finanční opce. Později byl výpočet rozšířen o všechny druhy možností.
Tento model získal v roce 1997 Nobelovu cenu za ekonomii. Tím se stal jedním ze základních pilířů moderní finanční teorie. Mnoho analytiků používá tuto metodu k posouzení, jaká by měla být vhodná cena pro finanční možnost.
Předpoklady modelu Black-Scholes
Před vstupem do vzorce a následným výpočtem je nutné provést několik úvah o modelu. Některé počáteční předpoklady, které model bere v úvahu a které uvedeme níže:
- Neexistují žádné transakční náklady ani daně.
- Bezriziková úroková sazba je u všech splatností konstantní.
- Akcie neplatí dividendy.
- Volatilita zůstává konstantní.
- Krátký prodej je povolen.
- Neexistují žádné bezrizikové arbitráže.
- Předpokládejme, že rozdělení pravděpodobnosti výnosů je normální rozdělení.
Black-Scholesův vzorec
Black-Scholesův opční cenový vzorec je vyjádřen následovně:
Jste připraveni investovat na trzích?
Jeden z největších makléřů na světě, eToro, zpřístupnil investice na finančních trzích. Nyní může kdokoli investovat do akcií nebo nakupovat zlomky akcií s 0% provizí. Začněte investovat hned s vkladem pouhých 200 $. Pamatujte, že je důležité trénovat investování, ale dnes to samozřejmě může udělat kdokoli.
Váš kapitál je ohrožen. Mohou být účtovány další poplatky. Další informace najdete na stocks.eToro.com
Chci investovat s Etoro
Kde:
- C = Kupní cena opce dnes (T = 0) v eurech.
- T = období do splatnosti v letech (3 měsíce = 0,25 roku).
- r = úroková sazba bez rizika. Ziskovost státního dluhu až na jednoho
- sigma = volatilita podle jednoho.
- X = Cvičná cena možnosti nákupu v eurech.
- S = Cena akcií v T = 0 v eurech.
- N (dl a d2) = Hodnota funkce kumulativní pravděpodobnosti normálního rozdělení s nulovým průměrem a jednou směrodatnou odchylkou.
Příklad výpočtu Black-Scholes
Předpokládejme, že chceme vypočítat hodnotu kupní opce, jejíž platnost vyprší 3 měsíce, s realizační cenou 40 eur. Cena akcie je 50 eur. Roční volatilita je 30% (0,3). A tříměsíční bezriziková úroková sazba je 10%. Akcie pro příští tři měsíce nevyplácí dividendy.
Proto:
- C = Kupní cena opce dnes (T = 0) v eurech.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 eur.
- S = 50 eur.
Počítáme d1 a d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (dl) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Mimochodem, k získání posledních hodnot d1 a d2 je nutné použít pravděpodobnostní tabulky.
Jakmile máme všechna data, dosadíme do původního vzorce:
Podle společnosti Black-Scholes je tedy příslušná cena naší možnosti volání 11 123 eur.
Omezení modelu Black-Scholes
Ačkoli model Black-Scholes nabízí skvělé řešení problému výpočtu vhodné ceny opce, má určitá omezení.
Je to model, tj. Adaptace reality. Proto jej jako adaptace na realitu nepředstavuje dokonale. Black-Scholes vypočítává cenu opcí, které lze uplatnit nebo vypořádat pouze po vypršení platnosti. Americké opce však lze uplatnit před vypršením platnosti. Kromě toho také předpokládá, že akcie nevyplácejí dividendy. A že jak bezriziková sazba, tak volatilita jsou konstantní. Ve skutečnosti tomu tak není, protože mnoho akcií vyplácí dividendy. Nakonec se v průběhu času mění volatilita a bezrizikové sazby, takže ani tento předpoklad není pravdivý.
Matematický model
