Cramér-Rao Cota - co to je, definice a koncept

Vazba Cramér-Rao (CCR) je minimální odchylka, kterou může za podmínek pravidelnosti dosáhnout odhad jednoho parametru.

Jinými slovy, hledáme rozptyl, který je nejblíže této spodní hranici, abychom našli nejlepší odhad podle vlastností nestrannosti a efektivity.

Doporučuje se přečíst si vlastnosti odhadů

Tyto vlastnosti se používají, když musíme pro provedení ekonometrické analýzy zvolit odhad. Pokud chceme, aby byly naše výsledky přesvědčivé, budeme muset minimálně vyžadovat, aby byl odhadovatel nestranný a aby měl co nejmenší rozptyl ze všech objektivních odhadů (účinnost).

I když vezmeme v úvahu všechny nezaujaté odhady, když hledáme odhad minimální odchylky, může se stát, že existuje další nezaujatý odhad, který má menší odchylku.

Aby nám neunikl žádný nezaujatý odhad s minimální odchylkou, stanovíme minimální nebo dolní hranici, kterou nemůže rozptyl nezaujatého odhadce parametru překročit.

Díváme se pouze na nezaujaté odhady, protože zkreslené odhady mohou mít odchylky menší než CCR.

Formulace

Definujeme:

f (X; Θ): funkce hustoty pravděpodobnosti.

E (·): matematická naděje.

I (Θ): Fisherova informace o parametru.

Představuje "množství informací" o hodnotě parametru obsaženého v pozorování náhodné proměnné X.

Vzorec:

Nepanikařte! Co můžeme z tohoto vzorce vidět na první pohled?

• Vidíme, že se jedná o non-strict nerovnost (≥) namísto rovnosti (=). Je to proto, že v některých případech nenajdeme (neexistuje) nezaujatý odhad, který dosáhne hranice CCR. Proto říkáme, že hledáme rozptyl nezaujatého odhadce, který je co nejblíže této spodní hranici. CCR nám navíc říká, jaká bude minimální rozptyl odhadce, pod tímto číslem jej nelze najít.
• Část vpravo (var (Θ)) je rozptyl odhadu našeho parametru.
• Část nalevo (1 / J (Θ)) je nepřekonatelné minimum rozptylu.
• Pokud hledáme (absolutní) minimum pro rozptyl odhadce Θ, je logické, že se objevují parciální derivace (derivace vzhledem k Θ).
  • V ekonomii se parciální derivace používají v podmínkách prvního a druhého řádu za účelem optimalizace užitkových funkcí: najít relativní a absolutní maxima a minima.
  • CCR používá první parciální derivaci parametru Θ na funkci hustoty pravděpodobnosti f (X; Θ)
  • Pro snazší výpočet se v některých případech k získání CCR používají druhá derivační a alternativní Fisherova informace.

Odhady, které jsou nestranné a mají rozptyl rovný CCR, budou považovány za nejúčinnější. Podobně ti nezaujatí, jejichž rozptyl je menší, budou považováni za relativně účinnější než ostatní odhady (dále od sebe).