Bayesova věta se používá k výpočtu pravděpodobnosti události a má o ní předem informace.
Můžeme vypočítat pravděpodobnost události A, také s vědomím, že A splňuje určitou charakteristiku, která určuje jeho pravděpodobnost. Bayesova věta chápe pravděpodobnost inverzně k teorému o celkové pravděpodobnosti. Věta o celkové pravděpodobnosti vede k závěru o události B z výsledků událostí A. Bayes vypočítá pravděpodobnost A podmíněné na B.
Bayesova věta byla široce zpochybňována. Což bylo hlavně kvůli jeho špatné aplikaci. Protože pokud jsou splněny předpoklady nesouvislých a vyčerpávajících událostí, věta je zcela platná.
Bayesova věta
Pro výpočet pravděpodobnosti definované Bayesem v tomto typu události potřebujeme vzorec. Vzorec je matematicky definován jako:
Kde B je událost, o které máme předchozí informace, a A (n) jsou různé podmíněné události. V části čitatele máme podmíněnou pravděpodobnost a ve spodní části celkovou pravděpodobnost. V každém případě, i když se vzorec zdá trochu abstraktní, je velmi jednoduchý. Abychom to prokázali, použijeme příklad, kde místo A (1), A (2) a A (3) použijeme přímo A, B a C.
Příklad Bayesovy věty
Společnost má ve Spojených státech továrnu, která má tři stroje, A, B a C, které vyrábějí nádoby na lahve s vodou. Je známo, že stroj A produkuje 40% z celkového množství, stroj B 30% a stroj C 30%. Je známo, že každý stroj vyrábí vadné obaly. Takovým způsobem, že stroj A produkuje 2% vadných obalů z celkové výroby, stroj B 3% a stroj C 5%. To znamená, že vyvstávají dvě otázky:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Pokud byl kontejner vyroben v továrně této společnosti ve Spojených státech, jaká je pravděpodobnost, že je vadný?
Vypočítá se celková pravděpodobnost. Protože z různých událostí vypočítáme pravděpodobnost, že je vadná.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Vyjádřeno v procentech bychom řekli, že pravděpodobnost vadného kontejneru vyrobeného v továrně této společnosti ve Spojených státech je 3,2%.
2. Pokračováním v předchozí otázce, je-li kontejner získán a je-li vadný, jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben strojem A? A strojem B?
Zde se používá Bayesova věta. Máme předchozí informace, to znamená, že víme, že obal je vadný. Samozřejmě, protože víme, že je vadný, chceme vědět, jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben jedním ze strojů.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
S vědomím, že je vadný kontejner, je pravděpodobnost, že byl vyroben strojem A, 25%, že byl vyroben strojem B, 28% a že byl vyroben strojem C, je 47%.