Kurtosis je statistické měřítko, které určuje stupeň koncentrace, který představují hodnoty proměnné kolem centrální zóny distribuce frekvence. To je také známé jako cílení opatření.
Když měříme náhodnou proměnnou, výsledky s nejvyšší frekvencí jsou obecně ty, které se pohybují kolem střední hodnoty distribuce. Představme si výšku studentů ve třídě. Pokud je průměrná výška třídy 1,72 cm, nejběžnější je, že výšky ostatních studentů jsou kolem této hodnoty (s určitou mírou variability, ale aniž by byly příliš velké). Pokud k tomu dojde, považuje se distribuce náhodné proměnné za normálně rozdělené. Ale vzhledem k nekonečnosti proměnných, které lze měřit, tomu tak není vždy.
Existují určité proměnné, které představují vyšší stupeň koncentrace (menší rozptyl) hodnot kolem své střední hodnoty a jiné naopak vykazují nižší stupeň koncentrace (větší rozptyl) svých hodnot kolem své střední hodnoty. Kurtosis nás proto informuje o tom, jak špičková (vyšší koncentrace) nebo zploštělá (nižší koncentrace) je distribuce.
Opatření centrální tendenceKumulativní frekvenceDruhy špičatosti
V závislosti na stupni špičatosti máme tři typy distribucí:
1. Leptokurtic: Kolem jejich průměru je velká koncentrace hodnot (např2>3)
2. Mesocúrtic: Kolem jejich průměru existuje normální koncentrace hodnot (např2=3).
3. Platicúrtica: Hodnoty kolem jejich průměru jsou nízké (např2<3).
Měření kurtosy podle údajů
V závislosti na seskupení dat nebo ne, je použit jeden nebo druhý vzorec.
Neseskupené údaje:
Data seskupená do frekvenčních tabulek:
Data seskupená v intervalech:
Příklad výpočtu kurtosy pro neseskupená data
Předpokládejme, že chceme vypočítat špičatost následující distribuce:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Nejprve vypočítáme aritmetický průměr (µ), který by byl 7,69.
Dále vypočítáme směrodatnou odchylku, která by byla 2,43.
Po získání těchto údajů a pro pohodlí při výpočtu lze vytvořit tabulku pro výpočet části čitatele (čtvrtý okamžik distribuce). Pro první výpočet by to bylo: (Xi-µ) 4 = (8-7,69) 4 = 0,009.
| Data | (Xi-µ) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Jakmile si necháme udělat tuto tabulku, jednoduše bychom museli použít vzorec, který byl dříve vystaven, abychom měli špičatost.
G2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
V tomto případě od g2 je větší než 3, distribuce by byla leptokurtická, což by představovalo větší směrování než normální distribuce.
Nadměrná špičatost
V některých příručkách je špičatost označována jako nadměrná špičatost. V tomto případě je přímo srovnáván s normálním rozdělením. Vzhledem k tomu, že normální rozdělení má kurtosu 3, abychom získali přebytek, museli bychom od výsledku odečíst pouze 3.
Přebytek kurtosis = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
Interpretace výsledku by v tomto případě byla následující:
G2-3> 0 -> leptokurtic distribuce.
G2-3 = 0 -> mezokorticní (nebo normální) distribuce.
G2-3 platicúrické rozdělení.
Deskriptivní statistika