Nestranný odhad je takový, jehož matematické očekávání se shoduje s hodnotou parametru, který chcete odhadnout. Pokud se neshodují, předpokládá se, že odhad má zkreslení.
Důvodem hledání nezaujatého odhadce je, že parametr, který chceme odhadnout, je dobře odhadnut. Jinými slovy, pokud chceme odhadnout průměrné cíle na zápas určitého fotbalisty, musíme použít vzorec, který nám dává hodnotu co nejblíže skutečné hodnotě.
V případě, že se očekávání odhadce neshoduje se skutečnou hodnotou parametru, předpokládá se, že odhad má zkreslení. Předpětí se měří jako rozdíl mezi očekávanou hodnotou odhadce a skutečnou hodnotou. Matematicky lze poznamenat takto:
Z výše uvedeného vzorce je zřejmá první a poslední část. To znamená, že očekávání odhadce se rovná skutečné hodnotě parametru. Pokud tato rovnost platí, odhad je nezaujatý. Matematicky abstraktnější střední část je vysvětlena v následujícím odstavci.
Průměr všech odhadů, které může odhadce provést pro každý jiný vzorek, se rovná parametru. Například pokud máme 30 různých vzorků, je normální, že v každém vzorku nabízí odhadce (i když jen nepatrně) jiné hodnoty. Pokud vezmeme průměr z 30 hodnot odhadce ve 30 různých vzorcích, měl by odhadce vrátit hodnotu rovnou skutečné hodnotě parametru.
Bodový odhadPředpojatost odhadce
Pro výpočet určitého parametru nelze vždy najít objektivní odhad. Takže náš odhad může být zkreslený. To, že má odhad zkreslení, neznamená, že není platné. Jednoduše to znamená, že to nesedí tak statisticky, jak bychom si přáli.
To znamená, že i když to nesedí tak dobře, jak bychom chtěli, někdy nám nezbývá než použít zkreslený odhad. Proto je životně důležité, abychom věděli o velikosti tohoto zkreslení. Pokud o tom víme, můžeme tyto informace použít v závěrech našeho vyšetřování. Matematicky je zkreslení definováno takto:
Ve výše uvedeném vzorci je zkreslení nenulová hodnota. Pokud by to bylo nula, pak by odhad byl nezaujatý.
Příklad nezaujatého odhadce
Příklad nezaujatého odhadce se nachází v odhadci střední hodnoty. Tento odhad je ve statistikách známý jako průměr vzorku. Použijeme-li matematický vzorec popsaný na začátku, dospějeme k závěru, že průměr vzorku je nestranný odhad. Před spuštěním musíme vzít v úvahu následující informace:
Označíme X čárkou nad průměrem vzorku.
Vzorec pro průměr vzorku je součtem n hodnot, které jsme dělili počtem hodnot. Pokud máme 20 dat, n se bude rovnat 20. Budeme muset přidat hodnoty 20 dat a vydělit je 20.
Výše uvedený zápis znamená očekávání nebo očekávanou hodnotu střední hodnoty vzorku. Hovorově bychom mohli říci, že se počítá jako střední hodnota výběrového průměru. S ohledem na tuto skutečnost můžeme pomocí správných matematických technik odvodit následující:
Očekávání odhadce se shoduje s „mu“, což je skutečná hodnota parametru. To znamená, že skutečný průměr. Všechno je řečeno, některé základní pojmy o matematice jsou nezbytné k pochopení předchozího vývoje.
Podobně bychom se mohli pokusit udělat totéž s odhadcem rozptylu vzorku. V následujícím následuje S na druhou varianta vzorku a řecké písmeno sigma (které vypadá jako písmeno o s holí vpravo) je skutečná varianta.
Rozdíl od výše uvedeného vzorce je druhá část prvního vzorce. A to:
Dospěli jsme k závěru, že rozptyl vzorku jako odhad rozptylu populace je předpojatý. Jeho zkreslení se rovná hodnotě uvedené výše. Závisí to tedy na rozptylu populace a velikosti vzorku (n). Všimněte si, že pokud je n (velikost vzorku) velmi velké, zkreslení má tendenci k nule.
Pokud má vzorek tendenci být velmi velký, odhadce se blíží skutečné hodnotě parametru, pak mluvíme o asymptoticky nezaujatém odhadci.