Termín konvexní se používá k popisu povrchu, který vykazuje zakřivení, přičemž jeho střed je stranou s největším významem.
Proto říkáme, že vnitřek koule nebo trampolíny (jako je ta, na kterou si děti hrají) je konvexní. To je způsobeno skutečností, že jeho střední část představuje větší pokles.
Je možné analyzovat, zda jsou geometrické obrazce konvexní, například v případě paraboly je to tvar U.
Učební trik k zapamatování konvexity je myslet si, že tvar konvexní křivky je tvar smajlíka.
Kromě toho, i když jsme vlastnost konvexity označili jako něco, co má křivku, je také použitelné pro matematické funkce a polygony, jak uvidíme níže.
Jak zjistit, zda je funkce konvexní?
Pokud je druhá derivace funkce v bodě větší než nula, pak je funkce v tomto bodě konvexní ve své grafické reprezentaci.
Výše uvedené je formálně vyjádřeno takto:
f »(x)> 0
Například funkce f (x) = x2 + x + 3. Její první derivace f '(x) = 2x +1 a její druhá derivace f »(x) = 2. Proto funkce f (x) = x2 + x + 3 je konvexní pro jakoukoli hodnotu x, jak vidíme na obrázku níže, což je parabola:
Nyní si představme tuto další funkci f (x) = - x3 + x2 + 3. Jeho první derivace f '(x) = -3x2 + 2x a jeho druhá derivace f »(x) = -6x + 2. Jakmile máme druhou derivaci vypočítanou, musíme zkontrolovat, jaké hodnoty x, funkce f (x) = -x3 + x2 + 3 je konvexní.
Nastavili jsme tedy druhou derivaci na 0:
f »(x) = -6x + 2 = 0
6x = 2
x = 0,33
Proto je funkce konvexní, když x je menší než 0,33, protože druhá derivace rovnice je kladná. Můžeme to zkontrolovat nahrazením různých hodnot x. Stejně tak se funkce stane konkávní, když x je větší než 0,33, jak vidíme na grafu níže.
Konvexní mnohoúhelník
Konvexní mnohoúhelník je takový, kde je pravda, že dva body, libovolný z obrázku, lze spojit přímkou, která vždy zůstane uvnitř mnohoúhelníku. Všechny vnitřní úhly jsou také menší než 180 °. Můžeme myslet například na čtverec nebo pravidelný osmiúhelník.
Opakem je konkávní polygon. To znamená ten, kde alespoň pro spojení dvou jeho bodů musí být nakreslena čára, která je částečně nebo úplně mimo obrázek. Jak je vidět na níže uvedeném srovnání:
