Fraktální geometrie je ta větev geometrie, která studuje fraktály. Jedná se o složité objekty se strukturou, která se opakuje, když ji pozorujeme v různých měřítcích.
Fraktály, jinými slovy, jsou tvořeny částmi, které jsou podobné celku a jsou nepravidelnými strukturami. Pojďme si představit brokolicovou hlavu, která se po rozdělení rozdělí na několik menších brokolic.
Fraktální geometrie se zrodila z potřeby mít lepší aproximaci reality, protože rovinná geometrie a geometrie vesmírných studijních postav a těles, které v přírodě velmi těžko nacházíme.
Vezměme si, že hory nejsou šišky a že i egyptské pyramidy, pokud se na ně podíváme pozorně, budou mít na svých površích určité nepravidelnosti. Tyto nedokonalosti se nazývají s kvalitou drsnosti a je to vlastnost, která přidává fraktální geometrii objektům, které již nemají pouze obvod, plochu a objem.
Počátek fraktální geometrie
Původ fraktální geometrie propagoval matematik Benoit Mandelbrot, stejně jako jeho největší literární dílo „Fractal Geometry of Nature“, publikované v roce 1982.
Slovo fraktál pochází z latinského slova „fractus“, což znamená zlomené nebo zlomené, a bylo vytvořeno Mandelbrotem v roce 1975.
Stojí za zmínku, že ačkoli Mandelbrot formalizoval studium fraktální ekonomiky, nebyl prvním, kdo si všiml existence fraktálů v přírodě. Podíváme-li se například na dílo známé japonské malířky Katsushiky Hokusai, uvidíme, jak se tento koncept uplatní (a sám Mandelbrot to zmínil v rozhovoru). Například na obraze „Velká vlna“ sledujeme, jak uvnitř vlny jsou další menší vlny.
Charakteristika fraktálu
Hlavní charakteristiky fraktálu jsou následující:
- Self-podobnost: Odkazuje na to, co jsme již zmínili dříve. Podíváme-li se na část fraktálu ve větším měřítku (blíže), bude vypadat stejně jako celý objekt. To znamená, že část je podobná celku, i když to není vždy úplně pravda. Představme si například kosočtverec složený z mnoha malých kosočtverců. Ačkoli se velikost těchto kosočtverců trochu liší, byl by to fraktál.
- Fraktální dimenze se nerovná topologické dimenzi: Abychom vysvětlili topologickou dimenzi, představme si, že máme rovinu rozdělenou do mřížek, jako je síť. Nakreslím tedy čáru, která prochází 2 mřížkami. Kdybych rozdělil všechny mřížkové mřížky na dvě, linka by prošla 4 mřížkami. To znamená, že se vynásobí 2, což se rovná redukčnímu faktoru (2) zvýšenému na 1 (2 = 21), což za nadbytečnost představuje počet rozměrů linky. Nyní, pokud máme mnohoúhelník, dvourozměrnou postavu, stane se něco podobného. Například pokud máme čtverec, který pokrývá čtyři mřížky a znovu použijeme redukční faktor 2, čtverec bude mít 16 mřížek. To znamená, že počet mřížek (4) se vynásobí 4, což je 2 zvýšeno na 2 (2 = 22), přičemž exponent je počet rozměrů na druhou. Všechno výše uvedené však u fraktálů neplatí.
- V žádném okamžiku se nerozlišují: To znamená, matematicky, že nelze odvodit derivaci představované funkce. Z vizuálního hlediska to znamená, že graf není spojitý, ale má vrcholy, takže není možné provést derivaci.
Aplikace fraktální geometrie
Fraktální geometrii lze použít v různých oblastech. Například v roce 1940 Lewis Fry Richardson zjistil, že různé hranice mezi zeměmi se mění v závislosti na rozsahu měření. To znamená, že pokud změříme geografický obrys, výsledek se bude lišit v závislosti na použité délce pravítka. To sloužilo jako reference pro Mandelbrota v jeho článku z roku 1967, publikovaném v časopise Science: „Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie?“
Lze to vysvětlit, vezmeme-li v úvahu, že geografická území jsou fraktály, a protože je vidíme ve větším měřítku, vidíme více nepravidelností.
Další aplikací fraktální geometrie je analýza seismických pohybů a pohybů na akciovém trhu.
Kromě toho musíme uznat, že fraktály sloužily jako inspirace pro umělce, jako je výše zmíněná Hokusa, a máme také případ Jacksona Pollocka.