Vektorový tečkovaný produkt s geometrickou definicí

Skalárním součinem dvou vektorů podle jeho geometrické definice je násobení jejich modulů kosinem úhlu tvořeného oběma vektory.

Jinými slovy, bodovým součinem dvou vektorů je vytvoření součinu modulů obou vektorů a kosinu úhlu.

Skalární součinový vzorec

Vzhledem k tomu, že dva vektory jsou, je součet bodů vypočítán následovně:

Říká se tomu skalární součin, protože výsledek modulu bude vždy skalární, stejně jako kosinus úhlu. Výsledkem tohoto násobení bude číslo, které vyjadřuje velikost a nemá žádný směr. Jinými slovy, výsledkem tečkového součinu bude číslo, nikoli vektor. Výsledné číslo proto vyjádříme jako libovolné číslo a ne jako vektor.

Abychom poznali velikost každého vektoru, vypočítá se modul. Takže pokud vynásobíme velikost jednoho z vektorů (v) velikostí druhého vektoru (a) kosinem úhlu, který oba tvoří, budeme vědět, kolik oba dva vektory celkem měří.

Modul vektoru (v) krát kosinus úhlu je také známý jako projekce vektoru v na vektor a.

Proces

1. Vypočítejte moduly vektorů.

Vzhledem k libovolnému vektoru tří dimenzí

Vzorec pro výpočet modulu vektoru je:

Každý dolní index vektoru označuje rozměry, v tomto případě je vektor (a) trojrozměrný vektor, protože má tři souřadnice.

2. Vypočítejte kosinus úhlu.

Příklad tečkového součinu dvou vektorů

Vypočítejte skalární součin následujících trojrozměrných vektorů s vědomím, že úhel, který tvoří, je 45 stupňů.

Pro výpočet skalárního součinu musíme nejprve vypočítat modul vektorů:

Jakmile jsme vypočítali moduly dvou vektorů a známe úhel, stačí je znásobit:

Proto je bodový produkt předchozích vektorů 1,7320 jednotek.

Graf

Následující vektory by vypadaly jako v trojrozměrném grafu, byly by následující:

Pro vektor (c) vidíme, že složka z je nula, proto bude rovnoběžná s osou úsečky. Místo toho je složka z vektoru (b) kladná, takže vidíme, jak se svažuje nahoru. Oba vektory jsou v kvadrantu pozitiv, pokud jde o komponentu, protože je pozitivní a je stejný.