Funkční rovnice jsou ty, které mají jinou funkci jako neznámou. Funkce, která může být spojena s algebraickou operací, jako je sčítání, odčítání, dělení, násobení, síla nebo kořen.
Také funkční rovnice lze definovat jako ty, které nelze pro jejich rozlišení snadno redukovat na algebraickou funkci typu f (x) = 0.
Funkční rovnice jsou charakterizovány tím, že neexistuje jediný způsob jejich řešení. Kromě toho může dotyčná proměnná nabývat různých hodnot (uvidíme to s příklady).
Příklady funkčních rovnic
Některé příklady funkčních rovnic jsou:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ a2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
V případech, jako jsou ty předchozí, lze přidat například to, že x patří do množiny reálných čísel, tj. X ∈ R (lze vyloučit nulu).
Příklady funkčních rovnic
Podívejme se na několik příkladů řešených funkčních rovnic:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Takže pokud nahradím x 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Podívejme se nyní na další příklad s trochu většími obtížemi, ale kde budeme postupovat podobným způsobem:
X2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
V tomto případě nejprve vyřešíme pro f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Nyní v rovnici 1 nahradím x 5-x:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Pamatujeme si, že f (5-x) je v rovnici 2:
(25-10x + x2). (X2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchyho funkční rovnice
Cauchyova funkční funkce je jednou z nejzákladnějších svého druhu. Tato rovnice má následující tvar:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Za předpokladu, že x a y jsou v množině racionálních čísel, řešení této rovnice nám říká, že f (x) = cx, kde c je libovolná konstanta, a totéž se děje s f (y).
