Funkční rovnice - co to je, definice a pojem

Funkční rovnice jsou ty, které mají jinou funkci jako neznámou. Funkce, která může být spojena s algebraickou operací, jako je sčítání, odčítání, dělení, násobení, síla nebo kořen.

Také funkční rovnice lze definovat jako ty, které nelze pro jejich rozlišení snadno redukovat na algebraickou funkci typu f (x) = 0.

Funkční rovnice jsou charakterizovány tím, že neexistuje jediný způsob jejich řešení. Kromě toho může dotyčná proměnná nabývat různých hodnot (uvidíme to s příklady).

Příklady funkčních rovnic

Některé příklady funkčních rovnic jsou:

f (xy) = f (x). f (y)

f (x²+ a²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

V případech, jako jsou ty předchozí, lze přidat například to, že x patří do množiny reálných čísel, tj. X ∈ R (lze vyloučit nulu).

Příklady funkčních rovnic

Podívejme se na několik příkladů řešených funkčních rovnic:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Takže pokud nahradím x 1 / 2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Podívejme se nyní na další příklad s trochu většími obtížemi, ale kde budeme postupovat podobným způsobem:

X²f (x) -f (5-x) = 3x… (1)

V tomto případě nejprve vyřešíme pro f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x… (2)

Nyní v rovnici 1 nahradím x 5-x:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Pamatujeme si, že f (5-x) je v rovnici 2:

(25-10x + x²). (X²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Cauchyho funkční rovnice

Cauchyova funkční funkce je jednou z nejzákladnějších svého druhu. Tato rovnice má následující tvar:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Za předpokladu, že x a y jsou v množině racionálních čísel, řešení této rovnice nám říká, že f (x) = cx, kde c je libovolná konstanta, a totéž se děje s f (y).