Vasíčkův model je jednofaktorový rovnovážný model úrokových sazeb založený na Brownově geometrickém procesu, který bere v úvahu střední obrat a časovou strukturu úrokových sazeb.
Jinými slovy, model Vasicek se používá k předpovědi dlouhodobých úrokových sazeb simulací krátkodobých úrokových sazeb. Kromě toho bere v úvahu, že úrokové sazby se v různých časových obdobích liší (časová struktura úrokových sazeb).
Rovnovážné modely úrokových sazeb používají krátkodobé úrokové sazby k výpočtu budoucích úrokových sazeb s přihlédnutím k časové struktuře úrokových sazeb.
Pro konstrukci výnosové křivky potřebujeme krátkodobé úrokové sazby a parametry modelu. Jakmile budeme mít krátkodobé úrokové sazby a parametry, můžeme vypočítat dlouhodobé úrokové sazby.
Pro výpočet budoucích cen dluhopisů s nulovým kupónem tedy potřebujeme krátkodobé úrokové sazby s nulovým kupónem. Tímto způsobem můžeme také vytvořit křivku nebo časovou strukturu úrokových sazeb s nulovým kupónem. Jakmile budeme mít křivku, budeme určovat vývoj dlouhodobých úrokových sazeb daných krátkodobými úrokovými sazbami.
Vzorec modelu Vasicek: Cena dluhopisu s nulovým kupónem.
Analytické řešení k nalezení ceny dluhopisu s nulovým kupónem, který platí 1 € při splatnosti (T) v jakémkoli časovém období (t) a při krátkodobé úrokové sazbě (r (t)).
Nepanikařte!
Potřebujeme jen:
- Časové období, ve kterém chceme znát úrokové sazby, tedy T.
- Okamžik času, ve kterém jsme nyní, nebo počáteční okamžik, který chceme, tj. T.
- Křivka krátkodobého úroku, tj. R (T) nebo rT . Pokud bychom chtěli v počátečním období vyjádřit úrokové sazby, použili bychom r (T) nebo rT.
- V těchto vzorcích budeme s parametry a, b a s zacházet jako s časovými konstantami.
- Směrodatná odchylka, s.
Pro výpočet ceny dluhopisu s nulovým kupónem, který platí v splatnosti (T) 1 € v jakémkoli časovém období (t), musíme pouze dát hodnoty parametrům a, b a sa simulovat krátkodobé úrokové sazby (r (t)).
Zastoupení modelu Vasicek: Cena obligace s nulovým kupónem
P (t, T) představuje cenu vazby od času t do T.
Takže … Budou ceny dluhopisů vždy takové?
Vůbec ne, jak jsme řekli na začátku, úrokové sazby závisí na Brownově geometrickém procesu, a proto implikují přítomnost náhodné složky N (0,1). Takže pokaždé, když vypočítáme výše uvedené vzorce, krátkodobé sazby se změní, stejně jako dlouhodobé úrokové sazby, ceny dluhopisů a jejich zastoupení.
Pomocí následujících vzorců najdeme r (T) a R (T).
Vzorec modelu Vasicek: Krátkodobé úrokové sazby
Vzorec pro krátkodobou úrokovou sazbu (rT):
Vzorec dlouhodobé úrokové sazby (R.T):
Reprezentace modelu Vasicek: úroková křivka
